阅读与思考 海伦和秦九韶ppt配套教案板书设计

§1.1.3 解三角形

潘福华

●教学目标

知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

●教学重点

在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

●教学难点

正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

●教学过程

Ⅰ.课题导入

[创设情景] 思考：在ABC中，已知a22cm，b25cm，A1330，解三角形。

（由学生阅读课本第9页解答过程）

从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

Ⅱ.讲授新课

[探索研究] b,A，讨论三角形解的情况

例1．在ABC中，已知a,分析：先由sinB则C1800(AB)

bsinA可进一步求出B；

a第

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从而casinC

A1．当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。

2．当A为锐角时，

如果a≥b，那么只有一解；

如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若absinA，则有两解；

（2）若absinA，则只有一解；

（3）若absinA，则无解。

（以上解答过程详见课本第910页）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且

bsinAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

[随堂练习1]

（1）在ABC中，已知a80，b100，A450，试判断此三角形的解的情况。

（2）在ABC中，若a1，c1，C400，则符合题意的b的值有_____个。

2（3）在ABC中，axcm，b2cm，B450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2x22）

例2．在ABC中，已知a7，b5，c3，判断ABC的类型。

分析：由余弦定理可知

a2b2c2A是直角ABC是直角三角形a2b2c2A是钝角ABC是钝角三角形

a2b2c2A是锐角ABC是锐角三角形（注意：A是锐角ABC是锐角三角形）

解：725232，即a2b2c2，

∴ABC是钝角三角形。

[随堂练习2]

（1）在ABC中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3，判断ABC的类型。 （2）已知ABC满足条件acosAbcosB，判断ABC的类型。 第

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（答案：（1）ABC是钝角三角形；（2）ABC是等腰或直角三角形）

例3．在ABC中，A600，b1，面积为3abc，求的值

2sinAsinBsinC111分析：可利用三角形面积定理SabsinCacsinBbcsinA以及正弦定理

222asinAbsinBcsinCabc

sinAsinBsinC13解：由SbcsinA得c2，

22则a2b2c22bccosA=3，即a3，

从而abca2

sinAsinBsinCsinAⅢ.课堂练习

（1）在ABC中，若a55，b16，且此三角形的面积S2203，求角C （2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积S（答案：（1）600或1200；（2）450）

Ⅳ.课时小结

（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

（2）三角形各种类型的判定方法；

（3）三角形面积定理的应用。

Ⅴ.课后作业

（1）在ABC中，已知b4，c10，B300，试判断此三角形的解的情况。

（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。

（3）在ABC中，A600，a1，bc2，判断ABC的形状。

（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x27x60的根，

求这个三角形的面积。

a2b2c24，求角C 第

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