1.3 二项式定理（通用）第二课时教学设计

选修2-3第一章

1.3.1二项式定理（一）

（教学设计）

湖南省东安县第一中学数学组

唐志达

教学目标：

知识与技能：理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征能对二项式定理进行简单应用；

过程与方法：通过对二项式定理内容的研究培养学生观察和归纳能力，学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程

情感态度与价值观：在愉悦的学习氛围中，学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。.

教学重点与难点

重点：理解二项式定理及推导方法

难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。

教学过程

探究学习：

1999年9月，马云先生带着一个18人的团队和50万人民币在杭州湖畔花苑开始了阿里巴巴神话.到2009年9月10日，此时的阿里巴巴总部员工已经达到了17 000人，公司市值100亿美金.经过10年的快速发展期后，公司将进入稳定发展期，预计每年公司市值将比前一年增加百分之十. 【设计意图：用一个富翁的发家史为例，为引出二项式定理做准备，激发学生学习新知的兴趣和欲望】

师问：按这样的发展速度，到20周年庆典时，该公司市值将达到多少亿美金？

师生共同总结：现有知识很难解决，请跟我学习---二项式定理种形式. 一、设置情景，引入课题

引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。

如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？

二、引导探究，发现规律

1、多项式乘法的再认识

问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？

【课堂操作:学生分组讨论后，学生代表分析思路，展示结果】

2、（a+b）3展开式的再认识

问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？

合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？

【课堂操作:学生分组讨论后，学生代表分析思路，展示结果】

教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C3· C1=3次，所以a2b的系数是3。

21

问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：

【课堂操作:学生分组讨论后，学生代表分析思路，展示结果】

4（1）四个括号中全都取a，得：C44

a

13（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34

a· C1b

22（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24

a· C2b

23（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14

a· C3b

3（5）四个括号中全都取b，得：C44

b

4师生共同总结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b432分类，再如：（1）不取b：C0（2）取1个b：C1（3）取2个b：C2（4）4

a；4

ab；4

a

b；23取3个b：C3（5）取4个b：C44

ab；4

b，然后将上面各式相加得到展开式。

412344323讨论后师生共同得出结论：（a+b）4= C04

a+ C4

ab+ C4

a

b+ C4

ab+ C4b

24【课堂操作:学生分组讨论后，学生代表分析思路，展示结果，如果有些总结不到位，其他组补充】

三、形成定理，说理证明

问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？

合作探究2:

(1) 将（a+b）n展开有多少项？

（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？

（3）字母“a”、“b”指数的含义是什么？是怎么得到的？

（4）如何确定“a”、“b”的系数？

【课堂操作:学生分组讨论后，学生代表分析思路，展示结果，如果有些总结不到位，其他组补充】

0n1n1knkknn猜想：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+…+Cnan-kbk+…+Cnbn(n∈N+) 这就是二项式定理（不要求证明）。

四、熟悉定理，简单应用

1、二项式定理的公式特征

【课堂操作:学生分组讨论后，由学生归纳，让学生熟悉公式】

（1）项数：共有n+1项；

01kn

（2）次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n；

（3）二项式系数：下标为n，上标由0递增至n；

k（4）通项:Tk+1= Ck ab；指的是第k+1项，该项的二项式系数为Cnn；

n-kk（5）公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫做（a＋b）的二项展开式。

n2、学以致用

例1

求(2x1x)6的展开式

分析：为了方便，可以先化简后展开。

【课堂操作：学生上讲台当堂做题，其他同学分组讨论】

例2

①(12x)7的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。

②求(x19)的展开式中含x3的系数。

x【课堂操作：学生上讲台边讲解边板书，探求多种方法解决问题】

【设计意图：用一些看似较难的高考真题来激发学生学习兴趣和欲望，从而提高学生的学习信心】

五、夺宝抢分

当堂测评（将学生分成二个大组，进行分组抢答）

Z+X+X+K]

六、课堂小结

归纳梳理（学生自己总结）

0n1n1knkknn式：

(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)[来源:学科网ZXXK]

1.

思想方法：

（1）从特殊到一般的思维方式. （2）用计数原理分析二项式的展开过程. 七、作业布置

必做题：

课本31页习题1、 2、3

选做题：

教材36习题：第2、3题

八、我的困惑（学生）

九、教学反思