小结优秀完整教案

《正态分布公》开课

教学设计

清远市博爱学校高中部

许保民

一、教材分析

正态分布是高中新教材人教A版选修2-3的第二章《随机变量及其分布》的最后一节内容，前面学习了离散型随机变量，离散型随机变量的取值是可列的。今天我们会学习连续型随机变量，连续型随机变量是在某个区间内可取任何值。其重要的代表——正态分布。《正态分布》该节内容通过研究频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线，引出拟合的函数式，进而得到正态分布的概念，然后，分析正态曲线的特点和性质，最后研究了它的应用——随机变量落在某个区间的概率。

教材利用高尔顿板引入正态分布的密度曲线。更直观，更易于解释曲线的来源。正态分布是描述随机现象的一种最常见的分布，在现实生活中有非常广泛的应用。

二、目标分析

本节课是一节概念课教学，应该让学生参与讨论、发现规律、探索并总结出性质和特点。

教学目标：

1、理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质，并会画正态曲线。

2、通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

3、会用函数的概念、性质解决有关正态分布的问题。

能力目标：能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生通过观察并探究规律，提高分析问题，解决问题的能力；培养学生数形结合，函数与方程等数学思想方法。

教学重点：归纳正态分布曲线的性质特点，掌握3σ原则。

教学难点：正态分布的意义的理解和性质的应用。

三、教法分析

1. 教学手段：运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。

2. 教学方法：本节课主要采用“引导发现”与“讨论探究”等方法组织教学。

3. 学法指导:

指导学生学会类比、观察、分析、归纳。

4．教学方法：探究式教学法

频率/组距总体密度曲线四、教学过程

（一）复习引入：

1、总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线。

单位Oab

2、它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．

【设计意图】本节用到总体密度曲线的概念，因此先复习概念，方便引入新课。

（二）讲解新课：

1、由高尔顿板试验（教材P70面的图）导出正态分布密度曲线（正态曲线）。

2、观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：

1,(x)e2(x)222,x(,)

式中的实数、(0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线。

3、正态分布

一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足P(aXb),(x)dx，

a则称

X 的分布为正态分布。正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(μ, σ)。如果随机变量

X 服从正态2分布，则记为X～N(μ, σ)。

2b【设计意图】利用多媒体演示高尔顿板试验，引导学生观察、分析、类比、归纳，让学生亲身感受知识的发生过程，并探究得出正态曲线和正态分布的概念。

例1、给出下列四个正态分布的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ

（1）f(x)1222ex22,x(,) （2）f(x)1221e2e(x1)28,x(,)

（3）f(x)e2(x4),x(,) （4）f(x)2(x1)24,x(,) 答案：(1)0，1；(2)1，2；（3）-4，0.5；(4)1，2

【设计意图】进行实例演练，巩固概念，进一步加深对定义、概念的认识。

4、经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如

（1）长度测量误差；

（2）某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；

（3）一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；

（4）正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；

（5）某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．

【设计意图】让学生了解到正态分布在实际生活中占有的重要地位。同时加深学生对正态分布的印象。

5、正态分布N(μ, σ)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布。通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响。

归纳出正态曲线的性质：

2

（1）曲线位于x轴的上方，与x轴不相交

。

（2）曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称

。

（3）曲线在x=μ处达到峰值12。

（4）曲线与x轴之间的面积为1。

（5）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近

。

（6）μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散。 进一步，若X～N(,)，则对于任何实数a>0，概率

2P(aXa)aa,(x)dx为区间(a,a]内的面积。如图。

思考：对于固定的u和a，当σ变化时，P(u－a＜X≤u＋a)的大小如何变化？

当固定μ和a后，P(u－a＜X≤u＋a)随着σ的减小而变大。即X落在区间(a,a]的概率变大，X集中在μ周围概率越大。

【设计意图】引导学生讨论探究正态曲线的性质，探究过程中，指导学生明确图象性质主要包括“位置u”与“形状σ”两大内容，在推导曲线性质的过程中，可以锻炼学生观察、猜测、归纳的能力。

2，3的三种正态曲线N (0,2)练习1：右图是当分别取值1，的图象，那么1，2，3的大小关系是（

D

）

A．1＞1＞2＞3＞0 C．1＞2＞1＞3＞0

B．0＜1＜2＜1＜3

D．0＜1＜2= 1＜3

练习2、某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为密度函数。（即标准正态曲线）

解：正态分布的概率密度函数是f(x)12，求正态12e(x)222,x(,)，它是偶函数，说明μ＝0，f(x)

的最大值为f()＝12，所以σ＝1，

【设计意图】加深对性质、公式的理解。

6、小概率事件的含义（3σ原则）

对于正态总体N(μ, σ)，随机变量X取如下区间内的值时的概率为：

268.3%x95.4%x99.7%x2σ4σ6σ

P(u－σ＜X≤u＋σ)＝0.6826，

P(u－2σ＜X≤u＋2σ)＝0.9544，

P(u－3σ＜X≤u＋3σ)＝0.9974，

因此可以看到，正态总体几乎总取值于区间（μ-3σ，μ+3σ）之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。在实际应用中，常认为服从正态分布N(μ, σ)的随机变量X只取（μ-3σ，μ+3σ）之间的值，这称之为3σ原则。

2【设计意图】引导学生理解3σ原则，小概率事件。掌握常见的计算问题。

1例2、工厂制造的某零件尺寸X～N(4,)，问在一次正常的试验中，取1000个零件9时，不属于区间（3，5）这个尺寸的零件大约有多少个？

分析：不属于区间（3，5）的概率为：

P(X3)＋P(X5) ＝1-P(3< X <5) ＝1- P(4-1< X <4+1) ＝1-

P(u－3σ＜X≤u＋3σ) ＝0.00260.003

即不属于区间（3，5）的有10000.003=3个

练习3、已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X~N(100，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（

A

）

A.

(90,110]

B. (95,125]

C. (100,120]

D.(105,115] 练习4、已知X~N (0,1)，则X在区间（- ∞，-2）内取值的概率等于（

D

）

A.0.9544

B.0.0456

C.0.9772

D.0.0228 【设计意图】实现讲练结合。常见的计算题都3σ区间有关，该例题和练习题体现了3σ知识的重要性，也加深了学生对公式的理解。

小结：1、离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规

律用分布密度函数（曲线）描述. 2、经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中. 3、对于求正态分布在某区间内取值的概率，一般转化为在σ邻域内取值的概率求解. 练习作业：书本第74页

1、3 课后作业：书本第75页

习题2. 4 A组

1 , 2

B组

2 【设计意图】深入地巩固所学知识。通过学生练习、作业批改，及时反馈，巩固所学知识，并了解学生的学习情况，检查教学目的的实现程度。

【板书设计】

正态分布

一、正态分布与正态曲线

高尔顿板试验

定义

例题1

二、生活中的正态现象

三、性质和特点

四、3σ原则

例题2

练习

小结