二 用数学归纳法证明不等式课件配套优秀

编号：选修4-5-009

江门一中2019届2017—2018学年度高二数学导学案

用数学归纳法证明不等式

[学习目标]

1.掌握用数学归纳法证明不等式的常用方法与技巧(重点)．

2.理解贝努利不等式．

3.能综合运用数学归纳法与数列、三角函数等知识进行不等式的证明(难点)．

[知识提炼·梳理] 1．贝努利不等式

(1)定义：如果x是实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n＞1＋nx．

(2)作用：在数学研究中经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1＋x)n缩小为简单的1＋nx的形式，这在数值估计和放缩法证明不等式中有重要应用．

2．数学归纳法证明不等式

(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤．

①证明：当n取第一个值n0时结论成立；

②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立．

由①②可知命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

(2)用数学归纳法证明不等式的重点．

用数学归纳法证明不等式的重点在第二步(同时也是难点所在)，即假设f(k)＞g(k)成立，证明f(k＋1)＞g(k＋1)成立．

[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N＋)，某同学应用数学归纳法证明的过程如下：

①当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．

②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，（k＋1）2＋（k＋1）＝k2＋3k＋2＜（k2＋3k＋2）＋（k＋2）＝（k＋2）2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．

根据(1)和(2)可知对任何n∈N＋，n2＋n＜n＋1都成立．

则对上述证法的说法中：

(1)过程全部正确．(

) (2)n＝1验证不正确．(

) (3)归纳假设不正确．(

) (4)从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．(

) 解析：在证明n＝k＋1时没有用到归纳假设故(4)正确，(1)、(2)、(3)不正确．

答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

1

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1112．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n＜n(n∈

232－1N＋，n＞1)时，第一步应验证不等式(

) 11111A．1＋＜2

B．1＋＋＜2

C．1＋＋＜3

22323111D．1＋＋＋＜3 2341＝2－12解析：因为n∈N＋，n＞1，所以n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为1，故选B.答案：B

33．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(

) A．2

B．3

C．5

D．6 解析：n取1，2，3，4时不等式不成立，起始值为5.答案：C

111114．用数学归纳法证明2＋2＋…＋，假设n＝k时，不等式成立之2＞－23（n＋1）2n＋2后，证明n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________．

解析：把n＝k时的不等式中的k换成k＋1即可．

111111答案：2＋2＋…＋

2＋2＞－23（k＋1）（k＋2）2k＋35．观察下式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出结论：_____. 答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2

类型1

用数学归纳法证明不等式(自主研析) 1111[典例1]

设n＞1(n∈N＋)，求证＋＋＋…＋2＞1. nn＋1n＋2n11113证明：(1)当n＝2时，左边＝＋＋＝＞1，所以当n＝2时，不等式成立．

23412(2)假设当n＝k(k＞1，k∈N＋)时，不等式成立，

1111即＋＋＋…＋2＞1.

kk＋1k＋2k当n＝k＋1时，

11111＋＋…＋＋＋

22＝k＋1（k＋1）＋1（k＋1）－1（k＋1）k＋1112k＋2＋…＋k＋111111222＋（k＋1）＝k＋k＋1＋k＋2＋…＋k＋k＋1

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＋…＋k2－k－12k＋1111＋（k＋1）2－k＞1＋（k＋1）2－k＝1＋k（k＋1）2.

219k－≥.

因为k≥2，所以241595k－－≥－＝1.

所以k2－k－1＝2444所以111＋＋…＋＞1.

k＋1（k＋1）＋1（k＋1）22所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)可知，对一切的n≥2，n∈N＋，此不等式都成立．

归纳升华

用数学归纳法证明不等式：第一步中，确定n0的值，弄清n＝n0时不等式一侧对应的是哪几项，第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)，这一步证明必须用到f(k)＞g(k)这一假设，证明时要根据欲证明的n＝k＋1时对应的结论，有目的地进行放缩分析．

此步证明过程中常用的方法有：比较法、综合法、分析法、放缩法等．

n111[变式训练]

已知Sn＝1＋＋＋…＋(n＞1，n∈N＋)，求证：S2n＞1＋(n≥2，n∈Nn232＋)．

111252证明：(1)当n＝2时，S22＝1＋＋＋＝＞1＋，即n＝2时命题成立．

234122k111(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋k＞1＋.

2322当n＝k＋1时，

11111＋S2k1＝1＋＋＋…＋k＋k＋…＋k＋1

2322＋12k111

＞1＋＋k＋k＋…＋k＋12k个,

22＋12＋22k2k

＞1＋＋k

22＋2kk1

＝1＋＋

22

＝1＋k＋1.

2故当n＝k＋1时，命题也成立．

n由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n＞1＋都成立．

2[典例2]

已知数列{an}和{bn}，其中an＝1＋3＋5＋…＋(2n＋1)，bn＝1＋2＋…＋2n1－(n∈N＋)，当n∈N＋时，试比较an与bn的大小，并证明你的结论．

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解：由已知得an＝1＋（2n＋1）·(n＋1)＝(n＋1)2，

22n－1nbn＝＝2－1.

2－1当n＝1时，a1＝4，b1＝1，则a1＞b1，

当n＝2时，a2＝9，b2＝3，则a2＞b2，

当n＝3时，a3＝16，b3＝7，则a3＞b3，

当n＝4时，a4＝25，b4＝15，则a4＞b4，

当n＝5时，a5＝36，b5＝31，则a5＞b5，

当n＝6时，a6＝49，b6＝63，则a6＜b6，

当n＝7时，a7＝64，b7＝127，则a7＜b7，

…

由此得到，当n∈N＋，n≤5时，an＞bn.

猜想：当n∈N＋，n≥6时，an＜bn.

前一结论上面已用穷举法证明，

后一猜想用数学归纳法证明如下．

①当n＝6时，上面已证a6＜b6.

②假设当n＝k(k∈N＋，k≥6)时，上述结论成立，

即当k≥6时，(k＋1)2＜2k－1.

当n＝k＋1时，要证ak＋1＜bk＋1，

即证(k＋2)2＜2k1－1，

＋只需证(k＋2)2＜2·2k－1，

根据归纳假设，2·2k－1＞2[(k＋1)2＋1]－1，

所以只需证(k＋2)2＜2(k＋1)2＋1，

即k2＋4k＋4＜2k2＋4k＋3，

即k2＞1.

因为k≥6，所以此式显然成立．

即当n＝k＋1时命题成立．

由(1)(2)可知，对任何n∈N*命题都成立．

归纳升华

用数学归纳法证明数列不等式，这虽然是一个行之有效的基本证题方法，但运用这种方法证明数列不等式时，易在推证k到(k＋1)的过程中，断了思路，这时应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征，一定要用上归纳假设，然后利用放缩法、分析法等证出当n＝k＋1时的结论．注意中间的证明过程必须有，不能省略也不能含糊不清，这一步是数学归纳法的精华所在．

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[变式训练]

若不等式a1111＋＋＋…＋＞对一切正整数n都成立，求n＋1n＋2n＋33n＋124正整数a的最大值，并证明你的结论．

a111解：当n＝1时，＋＋＞，

1＋11＋23×1＋12426a则＞，所以a＜26.

2424又a∈N＋，所以取a＝25.

11125下面用数学归纳法证明＋＋…＋＞.

n＋1n＋23n＋124(1)n＝1时，由上面求解过程，不等式成立．

11125(2)假设当n＝k时，＋＋…＋＞.

k＋1k＋23k＋124所以当n＝k＋1时，

111111＋＋…＋＋＋＋＝（k＋1）＋1（k＋1）＋23k＋13k＋23k＋33（k＋1）＋11＋1＋…＋1＋

3k＋1k＋1k＋21＋1＋1－1＞

3k＋23k＋33k＋4k＋112251＋3k＋2＋3k＋4－3（k＋1），

24因为所以所以6（k＋1）112＋＝2＞，

3k＋23k＋49k＋18k＋83（k＋1）112＋－＞0，

3k＋23k＋43（k＋1）11125＋＋…＋＞成立．

（k＋1）＋1（k＋1）＋23（k＋1）＋124由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，

都有11125＋＋…＋＞，

n＋1n＋23n＋124所以a的最大值为25.

1．用数学归纳法证明含正整数n的不等式时(其中n取无限多个值)，解决问题的前提条件是进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的．

2．前面已学过证明不等式的一系列方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等，而本节增加了数学归纳法证明不等式，且主要解决的是无限的问题，因而难度更大一些．但仔细研究，数学归纳法关键是由n＝k到n＝k＋1的过渡，也是学好用数学归纳法

5

编号：选修4-5-009

班级：

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姓名：

证不等式的重中之重的问题．

(1)用数学归纳法证明的关键是“变项”，即在假设的基础上通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法，得出要证明的目标不等式，因此以上几种方法均要灵活地运用．有个别较复杂的问题，第二个步骤再利用数学归纳法．

(2)利用数学归纳法证明不等式问题时，有时要假设当n≤k时成立，再证当n＝k＋1时成立，实质上，这就是第二数学归纳法．

A级

基础巩固

一、选择题

1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证(

) A．n＝1

B．n＝2

C．n＝3

D．n＝4 解析：由题意n≥3知应验证n＝3.答案：C 1112．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋n＜n，(n∈N＋，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)232－1不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(

) A．2k1

B．2k－1

C．2k

－＋D．2k＋1 ＋解析：增加的项数为(2k1－1)－(2k－1)＝2k1－2k＝2k.故选C.答案：C

1111273．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋n－1＞(n∈N＋)成立，其初始值至少应24642取(

) A．7

B．8

C．9

D．10 11－n21111解析：左边＝1＋＋＋…＋n－1＝＝2－n－1，代入验证可知n的最小值是8. 241221－2答案：B 1111114．用数学归纳法证明“＋＋＋…＋≥(n∈N*)”时，由n＝k到nn＋1n＋2n＋3n＋n24＝k＋1时，不等式左边应添加的项是(

) 111A.

B.＋

2（k＋1）2k＋12k＋21111111C.＋－

D.＋－－

2k＋12k＋2k＋12k＋12k＋2k＋1k＋211111解析：当n＝k时，不等式为＋＋…＋≥.

k＋1k＋2k＋k24当n＝k＋1时，

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左边＝1111＋＋…＋＋＋（k＋1）＋1（k＋1）＋2（k＋1）＋（k－1）（k＋1）＋k111111＝＋＋…＋＋＋.

（k＋1）＋（k＋1）k＋2k＋3k＋k2k＋12k＋2比较n＝k与n＝k＋1的左边，

可知应添加的项为答案：C 111m5．若不等式＋＋…＋＞对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m2n24n＋1n＋2的最大值为(

) A．12

B．13

C．14

解析：令f(n)＝所以[f(n)]max＞D．不存在

111＋－. 2k＋12k＋2k＋1111＋＋…＋，取n＝2，3，4，5等值发现f(n)是单调递减的，2nn＋1n＋2mm，所以由f(2)＞，求得m的值．故应选B.答案：B 2424二、填空题

6．用数学归纳法证明2n1≥n2＋n＋2(n∈N＋)时，第一步的验证为________．

＋解析：当n＝1时，211≥12＋1＋2，即4≥4成立．答案：211≥12＋1＋2

＋＋111911117．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋ABCπABCD161111125≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n边形A1A2…ABCDE3π2πAn中，类似成立的不等式为________．

n2111解析：由题中已知不等式可猜想：＋＋…＋≥(n≥3且n∈N*)．

An（n－2）πA1A2n2111答案：＋＋…＋≥(n≥3且n∈N*)

An（n－2）πA1A22n＋11118．在应用数学归纳法证明“1＋2＋2＋…＋(n∈N*)”时，从n＝k2＜23（n＋1）n＋1到n＝k＋1，不等式左边增加的项是________．

解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从12开始；二看“尾”，当n＝k时，尾项的分母为(k＋1)2，n＝k＋1时尾项的分母为(k＋2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，…，(n＋1)这些数都是连续相差1时．因此，从n＝k到n＝k＋1只增加了一项，即三、解答题

9．试证明：1＋

11

2(k∈N＋)．答案：（k＋2）（k＋2）2111＋＋…＋＜2n(n∈N＋)．

n237

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证明：(1)当n＝1时，不等式成立．

(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即

1＋111＋＋…＋＜2k.

k23那么n＝k＋1时，

1＋1＋1＋…＋1＋1

k23k＋1＜2k＋1

k＋1＝＜2k（k＋1）＋1

k＋1k＋（k＋1）＋1

k＋1＝2k＋1.

这就是说，n＝k＋1时，不等式也成立．

根据(1)(2)可知不等式对n∈N＋成立．

110．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，证明：an3≥2n－1(n∈N*)．

1证明：由f(x)＝x3－x，

3得f′(x)＝x2－1.

因此an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2)，

(1)当n＝1时，a1≥1＝21－1，不等式成立．

(2)假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥2k－1，

当n＝k＋1时，

ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1.

又k≥1，所以22k≥2k1，所以n＝k＋1时，ak＋1≥2k1－1，不等式成立．

＋＋根据(1)和(2)知，对任意n∈N＋，an≥2n－1成立．

B级

能力提升

1111．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋n＜f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n232－1＝k到n＝k＋1时，左边增加了(

) A．1项

B．k项

C．2k－1项

D．2k项

1111111111＋＋＋…＋k解析：1＋＋＋…＋k＋1－＝＋…＋，共增k＋k＋1k2－122＋1232－1232－1加了2k项．答案：D

8

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2．利用数学归纳法证明________．

3×5×…×（2n－1）＜2n－1时，n的最小取值n0应为2×4×…×（2n－2）3解析：n0＝1时不成立，n0＝2时，＜3，再用数学归纳法证明，故n0＝2.答案：2

213．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．

21(1)判断S是否为等差数列，并证明你的结论；

n1122(2)证明：S2. 1＋S2＋…＋Sn≤－24n11(1)解：S1＝a1＝，所以＝2.

2S1当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，

11所以－＝2.

SnSn－11故S是以2为首项、2为公差的等差数列．

n111(2)证明：①当n＝1时，S2，不等式成立．

1＝＝－424×11122②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，不等式成立，即S2成立，

1＋S2＋…＋Sk≤－24k11111112222＝则当n＝k＋1时，S2＋2＝－k－1＋S2＋…＋Sk＋Sk＋1≤－24k4（k＋1）24（k＋1）k2＋k＋111k2＋k1111－·.

2＜－·2＝－24k（k＋1）24k（k＋1）24（k＋1）即当n＝k＋1时，不等式成立．

根据①②可知对任意n∈N＋不等式成立．

9