13.4 平行线的判定优秀教案案例

13.4平行线的判定 上海市市西初级中学 王进敬

教学目标: 1、

了解平行线的两种定义：一是欧几里得《几何原本》中的定义：

“同一平面内不相交的直线叫做平行线”。一是方向定义：（比如）Olney(1883)中为“具有相同或者相反方向的线称为平行线”。

2、了解历史上平行符号的表示方法，体会任何事物的发展都不是一蹴而就的。

3、通过学生的直观操作加以体会，再从用“特殊到一般”的方法解决“同位角相等，两直线平行”这一难点，体会发生教学法。

4、体会研究问题的角度与方法，会运用类比的方法大胆尝试，将未知的问题转化为已知来解决。

教学重点及难点：探索“同位角相等，两直线平行”的过程。

教学过程：

一、（知识之谐与文化之魅）平行线的概念：

在茫茫大海上，一艘豪华舰艇正在向正东方向行驶，行驶至A处，突然舵手发现前方50米处有礁石，于是急忙转舵，沿着北偏东30°方向避让，行驶一段路程到B处后，已经避开礁石，想要回到原来的航行方向上，请问舵手如何操作？

问1：如果将舰艇看作一个点，你能画出上述文字中描述的示意图吗？

（边讲解边用几何画板逐步出示上述操作过程，边用如下提问来理解上述文字。）

①如何理解北偏东30°？

（130）

②按照上述操作避开礁石，舵手如何转舵？（将舵绕点A逆时针旋转60°即260）

00l2Bl3l11 2 A礁石

③想要回到原来的航行方向上，舵手如何操作？（绕着点B顺时针旋转60°）

问2、根据前面的学习及生活经验，l1、l2与l3有怎样的位置关系？

生：l1与l2相交，l1与l3平行，，l2与l3相交。

可见：在这个平面内，两条直线有相交与平行两种位置关系，对应了这一章的标题：相交线与平行线。

师：关于相交，我们从交点的个数和所形成的角之间的关系两个角度进行了研究，在研究过程中还体会了从一般到特殊的方法，这节课，类比于相交，来学***行的相关知识。（写标题：第2节：平行线）

问3：从直观来看，你能说说什么是平行线吗？

生1：平行线（parallel line）：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

师：类比于相交线，从交点个数定义平行线，强调在同一平面内，这一定义是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中给出的。跨越了两千年的历史长河，同学们的思维竟与数学家不谋而合。

问4：如果像故事中所说一样，将l1与l3看成是有方向的，你能从这个角度给出平行线的概念吗？

生2：另一种定义：具有相同方向的直线称为平行线。

师：从这一点来看，我们已经朝着超越古人的方向前进了。

其实，用方向来定义平行线曾经出现在英美的早期几何教材中，比如）Olney(1883)中为“具有相同或者相反方向的直线称为平行线”。真有“并驾齐驱”与“背道而驰”之感。

问5：“方向定义”平行线既然这么形象，为何课本却选择了“交点定义”？

生：因为直线是向两方无限伸展的，并没有方向。但它也很形象。

通过给出平行线的概念发现，你们在不知不觉中竟与数学家产生共鸣，古代数学家的思维借你们之口在课堂上得以展现，而且，你们会根据所学知识，辩证地看待问题。让我由衷的佩服你们的智慧。为你们鼓掌！

像很多数学符号一样，两直线平行也有很简洁的表示方法

“平行”符号表示是“∥”.

如图，记作AB∥CD.

在同一平面内，两条不重合的直线有两种位置关系：平行与相交. ABCD

这个平行符号既简洁又形象，是世界通用的语言，但它的确立却不是一帆风顺的。

符号的历史：大约公元50年，古希腊数学家海伦（Heron，公元一世纪）最早创用“OV”或“P”作为表示两直线平行的记号. 300多年后，古希腊数学家帕普斯（Pappus，4世纪）看到他的祖先海伦所创用的平行线符号以后，不很满意，干脆将“OV”或“P”中的字母去掉，改革为“=”，有时又用“OL”表示，显然平行号“=”是仿照两条直线平行的形象创造的。

到17世纪时，大家仍想用“=”表示平行线，可惜等号“=”早已捷足先登，成为欧洲数学王国里的永久居民了，若再用它表示平行线，会使欧洲数学符号混乱。

1657年，英国数学家奥特雷德（W.Oughred，1574～1660年）将横躺着的“=”直立了起来，即用“//”作为表示两直线平行的记号，并一直沿用至今. 可见，任何事物或者是任何人，想要获得世界的认可都是要经历一番风雨艰辛的。

二、（探究之乐与方法之美、能力之助）平行线的判定：

根据已经学过的知识，请你在任务单上画出两条平行线，并用符号表示出来。

问：你认为你画的是平行线吗？

ba情况1、由于直线是向两方无限延伸的，我们看到的只是

直线的一部分，因此用“不相交”判断直线是否平行是

不可行的.但他想到用刚学过的概念作为判定依据却是很

a∥b

好的. 通常概念及可以作为判定又可以作为性质来用.

lba1 情况2：先画一条直线l，再画al，bl，这样就a∥b.

理由是：根据垂线的基本性质：在平面内经过直线上或直线外一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条。

2 如果a与b不平行，假设它们的交点为A，那么过A就有两条直线与l垂直，与垂线的基本性质不符.故a∥b.

ba

情况3：这种情况既可以是“平行线间距离的逆用”，也可以说是小学所学的“长方形”知识，还可以说是上题的复杂化.

baBA12l

情况4：将a看作是沿正东方向无限延伸的直线，直线a

绕着点A逆时针旋转45°与直线l重合，再将直线l绕着点B顺时针旋转45°与直线b重合，从方向上来看，a与b的方向一致，故a∥b.

情况5：将三角尺ABC与直线a重合，再将其向上平移至b处，由于平行

移动，故a∥b.

在学生画图的过程中，教师巡视，如果没有出现情况4，就做如下提问：

问6：刚才舰艇的转舵问题，能否提醒你用旋转的方法画平行线？（请同学思考）

通过大家的画法，我们最终同意2、4、5的方法可以得到a∥b的结论. 问7：这几种方法有没有共同的特点？

（添加截线，构成了“三线八角”图.）

可见，要判定两直线是否平行，必须借助第三条直线即截线，构成“三线八角图”，再借助于相关角的大小关系来判定. 问8：（将2、4、5画在黑板上）观察2、4、5中所标注的角，他们是什么关系？

（同位角）

问9：根据上述的过程，你可以得到什么结论？

在两条直线被第三条直线所截，所构成的“三线八角”图中，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（文字语言、图形语言与符号语言）

归纳：我们把上述的结论作为两条直线平行的判定方法1，简记为：

同位角相等，两直线平行。

三、（方法之美与文化之魅）应用：

应用1：现在，我们再回到本节课的开篇，通过上述学习，你能用判定方法来解释为什么

l1∥l3吗？（同位角相等两直线平行.）

问10：可见，这个判定方法有什么作用？

（可以判定两条直线互相平行。）

师：用平行线的概念来判定平行是不可能的，这样判定方法的优越性就凸显出来了。

应用2：根据上述过程，同样得到了：“如果同一平面的两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，你能否用平行的判定方法1来说理？

解：∵al，bl.（ ）

00∴1_______，2_______.（

垂直的意义

）

∴

12.（ ）

∴

a_____b.（ ）

可以把情况2看作是特例，先从特殊的角度入手研究，再到一般情况。这也是研究问题的重要方法。

应用3：如图，过直线a外一点P，画直线a的平行线，可以画几条？为什么？

Pa

问11：根据上述操作，可以得到什么结论？

总结：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （有，强调存在性，

只有，强调唯一性）

师：根据平行线的判定方法，上述性质的正确性是不言而喻的，这部分内容从直观到操作再到推理，形成了几何的最基本的知识框架，因此欧几里得的《几何原本》将平行公设作为五个公设之一，从而形成了体系庞大，逻辑严谨，用途广泛的几何学。

这节课的内容就上到这儿，一起来小结这节课的内容。

四、课堂小结：

1、知识小结：请复述一下平行线的判定方法1. 2、这节课中你在研究问题的方法上有哪些收获？

3、这节课的学习，你有哪些情感上的触动？