3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学目标

《数系的扩充与复数》

全章复习

【知识要点】

一：复数的基本知识

1、虚数单位i，规定它的平方等于1，即i21. i可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. 2、形如abi（a,bR）的数叫做复数，记作：zabi（a,bR）；

当b=0时，z是实数a；

当b≠0时，z叫做虚数；

当a=0且b≠0时，zbi叫做纯虚数.

3、两个复数相等的充要条件：若a,b,c,dR，则abicdi4、复数的几何意义： ac. bd复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ

复数zabi，则向量OZ的长度叫做复数zabi的5、复数的模：设OZabi（a,bR）模，记作|abi|. 即|z||OZ|一一对应一一对应a2b20. 4n（1）i的周期性：如果n∈N，则有：i1，i4n1i，i4n21，i4n3i；

（2）复数zabi的共轭复数，记为zabi；

22zz(abi)(abi)abz. （3）2要点二：复数的运算

设z1abi，z2cdi（a,b,c,dR），则：

z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i

z2z1(ca)(db)i

z1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i

z1abi(abi)(cdi)acbdbcad22i22z2cdi(cdi)(cdi)cdcd

（1）设ω＝113i，则31，2，120，2，3n1，223n1(n∈N+)等；

（2）复数求解计算时，要灵活利用i、ω的性质，或适当变形，创造条件，从而转化1

为关于i、ω的计算问题．比如(1i)22i；（3）作复数除法运算时，有如下技巧：【典型例题】

题型一：复数的概念及运算

例1.化简下列式子：

1i1ii；i；

1i1iabi(abi)i(abi)ii．

bai(bai)iabi23i2(22i)（1）； （2）51i123i(13i)42010．

(22i)4【解析】（1）5(13i)24(1i)413(2)i2255

13；

2222i13i1325i2224(2i)223i2（2）1i123i2010

(23i)i21005(23i)1

10051005i(123i)i(2i)i23i1ii2i．

i2【总结升华】灵活利用(1i)及举一反三：

13i的特点进行计算．

2223【变式1】i是虚数单位，计算iii()

A．-l B．1 C．-i D．i 【答案】 A 【变式2】复数i(2i)等于()

12i A．i B．-i C．1 D．-1 【答案】 D i(2i)12i(12i)(12i)(2i)211．

【解析】12i12i(12i)(12i)52

【变式3】已知复数z1i，则【答案】-2i 2z________·

z例2.已知z1a23(a5)i，z2a1(a22a1)i(a∈R)分别对应向量OZ1，，若向量Z2Z1所对应的复数为纯虚数，求a的值．

OZ2（O为原点）【解析】设向量Z2Z1对应的复数为z，

∵Z2Z1OZ1OZ2，

∴zz1z2a23(a5)i[a1(a22a1)i]

[(a23)(a1)][(a5)(a22a1)]i

(a2a2)(a2a6)i．

∵ z为纯虚数，

2aa20，a2或a1，∴2即

a3且a2，aa60，∴a1．

【总结升华】讨论复数z为实数、虚数、纯虚数、非纯虚数应从定义入手．

举一反三：

【变式1】设z2z1iz1(其中z1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是-1，则z2的虚部为________．

【答案】 1 【解析】z1xyi，z21bi，(x,y,bR)

1bixyii(xyi)(xy)(yx)i，由复数相等得byx(xy)1．

【变式2】设a，b为实数，若复数A．a12i1i，则( )

abi3113，b B．a＝3，b＝l C．＝a，b D．a＝1，b＝3 222212i1i12i(1i)(abi)

abi【答案】 A 【解析】3a，ab1，212i(ab)(ab)i

ab21b23

故选A．

题型二：复数的几何意义

例3.

已知复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．

【解析】设复数z1、z2、z3所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个点D对应的复数为xyi(x，y∈R)，

∴ADODOA对应的复数为

(xyi)(12i)(x1)(y2)i，

BCOCOB对应的复数为(12i)(2i)13i．

∵ADBC，

∴(x1)(y2)i13i，

即x11，x2，解得

y23，y1.∴点D对应的复数为2i．

【总结升华】本题主要考查复数的几何意义．利用ADBC，求点D对应的复数，也可利用原点O恰好是正方形ABCD的中心来解．

举一反三：

【变式】已知复平面上的求向量DA对应的复数．

【答案】如图所示，ABCD中，设对角线AC、BD的交点为E，则点E为AC、BD的中点，ABCD中，AC对应的复数为6+8i，BD对应的复数为-4+6i，由复数加减法的几何意义可得

DAEAED11111CABDACBD(ACBD)

222224

所以DA对应的复数为1(68i46i)17i，

2所以向量DA对应的复数为17i．

(1i)3(abi)例4.复数z且|z|4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，z对应的点1i是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．

(1i)2(1i)(abi)2ii(abi)2a2bi．

【解析】z1i由|z|4，得a2b24．①

∵复数0，z，z对应的点是正三角形的三个顶点，

∴|zz||z|．

把z2z2bi代入上式化简得|b|＝1．②

又∵ z对应的点在第一象限. ∴ a＜0，b＜0．

由①②得a3，

b1，故所求值为a3，b1．

【总结升华】要确定实数a，b的值，需列出含a，b的两个方程条件|z|＝4易使用；对于正三角形这个条件，使用方法较多，本题转化为边长相等，即|z||z||zz|．

举一反三：

【变式1】复数zi在复平面上对应的点位于( )

1i A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】 A 【解析】zii(1i)1i11i．

1i1i2222∴复数z在复平面内的对应点为，，在第一象限．故选A．

【变式2】若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数1122z的点是() 1i5

A．E B．F C．G D．H 【答案】 D 【解析】由题中图示可知z3i，

∴z3i2i，再结合题中图示知点H表示2-i，故选D．

1i1i题型三：复数与方程

例5. 已知2+ai，b+i是实系数一元二次方程x2pxq0的两根，求p，q. A．p＝-4，q＝5 B．p＝4，q＝5 C．p＝4，q＝-5 D．p＝-4，q＝-5 【思路点拨】抓住实系数一元二次方程有虚根时两根互为共轭复数来解题. 【解析】因为2+ai，b+i)是实系数一元二次方程x2pxq0的两个根，

所以2+ai与b+i互为共轭复数，

所以a＝-1，b＝2，

所以实系数一元二次方程x2pxq0的两个根是2±i，

所以p＝-[(2+i)+(2-i)]＝-4，q＝(2+i)(2-i)＝5．

【总结升华】本题考查实系数一元二次方程有虚根时两根互为共轭复数的特点，以及根与系数的关系．

举一反三：

2【变式】在复数集中解方程xx10.

【答案】∴x1,2b24ac1430，

bi13i，

2a21313i,x2i.

2222∴原方程的根为x1例6. 已知Z∈C，解方程z【思路点拨】本题介绍对z【解析】∵z2z3iz13i．

z|z|2的熟练应用，来求得z. 1|z|2i，①

z|z|，把方程变形为z136

(1|z|2)2|z|2．

两边取模得|z|192整理得|z|411|z|2100．

解得|z|21或|z|210．

将其代入①得z1或z13i．

∴ z＝-1或z＝-1+3i．

【总结升华】对于含z,z,|z|的方程，基本解法：（1）设zxyi(x，y∈R)，利用复数相等的条件求x，y；（2）若由（1）困难，则看能否能求出|z|，然后代回去再解. 本题可以也可以用方法求解. 举一反三：

【变式】已知Z∈C，解方程z2z36i．

【答案】令zxyi(x，y∈R)，

22则原方程化为：xy2(xyi)36i，

x2y22x3,∴由复数相等的条件有

2y6.解得x4,x0,或

y3.y3.∴原方程的解为43i，3i.

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