3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优秀导入

课时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A级

基础夯实练(25分钟，50分) 1．(2018·聊城模拟)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为

(

) A．1

C．1或2 B．2 D．－1 解析：选B.因为复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，

2a－3a＋2＝0，所以解得a＝2. a－1≠0，

2．(2018·安庆质检)已知i为虚数单位，则复数A．－1＋2i C．－2＋i 解析：选C.∵z＝B．1－2i D．2－i 1－2ii1－2ii＝i2＝－2－i，

1－2ii的共轭复数是(

) ∴复数z的共轭复数是z＝－2＋i. 1－i3．(2018·河南豫北重点中学联考)已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚a＋i数，则复数z＝(2a＋1)＋2i的模等于(

) A.2

C.6

解析：选D.因为B.3 D.11 1－i1－ia－ia－1a＋1＝＝2－2，为纯虚数，

a＋ia2＋1a＋1a＋1a－1＝0，所以解得a＝1. a＋1≠0，所以|z|＝|(2a＋1)＋2i|＝|3＋2i|＝32＋22＝11. 4．(2018·山东青岛一模)设复数z满足A．－2 C．－1

1－z＝i，则z的虚部为(

) 1＋zB．0 D．1 1

解析：选C.设z＝a＋bi，a，b∈R，

∵1－z＝i，

1＋z∴1－z＝i＋zi，∴1－a－bi＝i＋ai－b，

1－a＝－b，∴

－b＝1＋a，∴a＝0，b＝－1，故选C. 5．已知复数z＝A．第一象限

C．第三象限

解析：选B.∵复数z＝11∴z－|z|＝2＋2i－1，则z－|z|对应的点所在的象限为(

) 1－iB．第二象限

D．第四象限

1＋i111＝＝2＋2i，

1－i1－i1＋i

12121－212＋2＝2＋2i，

1－21∴对应的点，2在第二象限，故选B. 2b6．(2018·昆明质检)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋i为纯虚数”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

b解析：选B.因为a＋i＝a－bi为纯虚数，所以a＝0，b≠0，所以“ab＝0”b是“复数a＋i为纯虚数”的必要不充分条件．

7．(2018·潍坊模拟)下面是关于复数z＝2的四个命题，其中的真命题为

－1＋i(

) p1：|z|＝2，p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；

p4：z的虚部为－1.

2

A．p2，p3

C．p2，p4

解析：选C.因为z＝B．p1，p2

D．p3，p4

2－1－i2＝＝－1－i，

2－1＋i所以|z|＝2，z2＝(－1－i)2＝1＋2i－1＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，所以p1，p3是假命题，p2，p4是真命题．

8．(2016·高考天津卷)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则ab的值为________．

1＋b＝a，b＝1，解析：(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，所以解得所1－b＝0.a＝2，a以b＝2. 答案：2 9．(2017·安徽安庆三模)设i是虚数单位，如果复数那么实数a的值为________．

a＋ia＋i2＋i2a－1＋a＋2i解析：∵＝＝，由题意知2a－1＝a＋2，解得52－i2－i2＋ia＝3. 答案：3 3＋i10．(2018·辽宁朝阳三校联考)已知复数z＝，z是z的共轭复数，1－3i2则z·z＝________. 3＋i3131解析：由z＝＝－4＋4i，得z＝－4－4i，所以z·z＝－21＋3i1131313－＋i·－－i＝＋＝. 4444161641答案：4

B级

能力升级练(15分钟，30分) 1．(2018·长沙模拟)已知复数z＝sin 2＋icos 2，则在复平面内复数z2对应的a＋i的实部与虚部相等，2－i

3

点位于(

) A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

解析：选D.因为z2＝(sin 2＋icos 2)2

＝sin22－cos22＋(2sin 2cos 2)i ＝(－cos 4)＋(sin 4)i，cos 4＜0，sin 4＜0，所以z2对应的点位于第四象限．

2．设z1，z2∈C，则“z1，z2中至少有一个数是虚数”是“z1－z2是虚数”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．即不充分也不必要条件

解析：选B.设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，则z1－z2＝(a1＋b1i)－(a2＋b2i)＝(a1－a2)＋(b1－b2)i，若z1－z2是虚数，则b1－b2≠0，所以b1，b2不能都为零，即“z1，z2中至少有一个数是虚数”；若“z1，z2中至少有一个数是虚数”，则b1，b2至少有一个不为零，但是有可能b1－b2＝0，比如1＋i,2＋i都是虚数，但是它们的差为实数，所以“z1，z2中至少有一个数是虚数”是“z1－z2是虚数”的必要不充分条件．

3．(2018·黄冈质检)复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(

) A．[－1,1]

9C.－16，7

9B.－16，1

9D.16，7

解析：选C.由复数相等的充要条件可得

m＝2cos θ，

24－m＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sin θ＋4＝4sin2θ－3sin θ

399＝4sin θ－82－16，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sin θ∈－16，7. 

4

13134．(2018·邢台摸底考试)已知复数z1＝－2＋2i，z2＝－2－2i，则下列命题中错误的是(

) A．z21＝z2

3C．z31－z2＝1 B．|z1|＝|z2| D．z1，z2互为共轭复数

3131321－3解析：选C.依题意，注意到z2＝＝－i＝－－－＋i14222i＝z2，2213因此选项A正确；注意到|z1|＝1＝|z2|，因此选项B正确；注意到z1＝－2－2i13213133＝z2，因此选项D正确；注意到z1＝z2·z＝·＝－＋i－＋i－－i112222221333－＋i＝1，同理z32＝1，因此z1－z2＝0，选项C错误．综上所述，选C. 22325．(2018·江西南昌一模)复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若z1a＋51－a＋z2是实数，则实数a的值为________．

32解析：z1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i a＋51－a23＋＝a＋51－a＋[(a2－10)＋(2a－5)]i ＝a－13＋(a2＋2a－15)i. a＋5a－1∵z1＋z2是实数，

∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. ∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3. 答案：3 6．(2018·衡水模拟) 已知复数z满足|z|＝1，则|z－(4＋3i)|的最大值________最小值为________．

解析：法一：由|z|＝1知复数z对应的点为以原点为圆心，以1为半径的圆上的点．

而|z－(4＋3i)|则表示单位圆上的点到点P(4,3)的距离．又|OP|＝42＋32＝5，

故|z－(4＋3i)|max＝5＋1＝6，

5

|z－(4＋3i)|min＝5－1＝4. 法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则由|z|＝1得x2＋y2＝1，

又|z－(4＋3i)|＝|(x－4)＋(y－3)i| ＝x－42＋y－32，

由几何意义可知上式为单位圆上的点到P(4,3)点的距离．又|OP|＝5，

故|z－(4＋3i)|max＝5＋1＝6，

|z－(4＋3i)min|＝5－1＝4. 答案：6；4 6