3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义课堂实录

剑阁县白龙中学教案

王旅民

3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义

一．教学目标

1.知识与技能：掌握复数的加法运算及意义；

2.过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义

3.情感态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用

二．教学重点：

复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系

三．教学难点：

复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义

教具准备。多媒体

教学过程与教学内容

讲解新课：

一．

主题1 复数的加法

1.设向量

OZ，

分别表示复数z1，z2，那么向量

OZOZ表示的复数应该是什么？

1OZ212

1

提示：OZOZ2

表示的复数是z1+z2.

2.设复数z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)对应的

那么向量

OZ，OZ1OZ2

OZ1，OZ2，1OZ2，

向量分别为

的坐标分别是什么？

提示：OZ＝(a，b)，OZ2＝(c，d)，OZ1OZ2＝(a＋c，b＋d).

1

二．复数代数形式的加减运算

1、复数z1与z2的和的定义：

z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2.复数z1与z2的差的定义：

z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3.

复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R). ∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i. z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i. 又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1. ∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律. 4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 证明：（略）

讲解范例：

例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i 1.若z1=2+i，z2=3+ai(a∈R)，且z1+z2所对应的点在实轴上，则a的值为

(

) A.3

B.2

C.1

D.-1 2.(3+2i)-(4-i)等于

(

) A.

B.

C.2

D.-1+3i

三.复数代数形式的加减运算的几何意义

复数的加法

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

与多项式加法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加.

一一对应１．复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ

一一对应2.

复数zabi平面向量OZ

3.复数加法的几何意义：

设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为OZ1、OZ2，即OZ1、OZ2的坐标形式为OZ1=(a，b)，OZ2=(c，d)以OZ1、OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是OZ，

∴OZ= OZ1+OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i

类比多项式的减法想一想复数如何相减？

3.

用文字语言描述：两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚提示：

部分别相减. 4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量OZ2就与复数z－z1的差(a－c)+(b－d)i对应由于所以，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被OZ2Z1Z，减数的向量对应. 例3若复数z满足z+(3-4i)=1，则z的虚部是(

)

A.-2

B.4

C.3

D.-4

例4

在复平面内的平行四边形ABCD中，AC

对应的复数

是6+8i，BD

对应的复数是-4+6i，则

DA

对应的复数

是

(

) A.2+14i

四、巩固练习：

(1)已知复数z=(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)，则复数z在复平面内对应的点位于

(

)

A.第一象限

C.第三象限

2)计算：

①(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)；

②(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(2 017-2 018i)-(2 018-2 019i). 【方法总结】复数代数形式的加、减法运算技巧

(1)分清实虚部：复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部. (2)分清实、虚数：算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减. (3)学生类比，复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.

类型二

复数加减运算的几何意义

B.第二象限

D.第四象限

B.1+7i

C.2-14i

D.-1-7i

【典例2】如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0，3+2i，-2+4i.求：

(1) AO

表示的复数.

(2)对角线

CA

表示的复数. (3)对角线

OB

表示的复数.

【跟踪训练】在平行四边形ABCD中，A，B，C三个顶点所对应的复数分别为3+3i，-5i，-2+i，求第四个顶点D对应的复数. 五、小结：

1、复数代数形式的加减运算

2、复数代数形式的加减运算的几何意义

六、、课后作业：课本第112页

习题3.2

1 , 2 , 3