小结主要内容及教案内容

复数小结

教学目标分析（融合知识与技能、过程与方法、情感态度价值观）

1.理解复数的有关概念、掌握复数的代数表示及向量表示. 2.会运用复数的分类、复数相等的充要条件求出相关复数的实参数值. 3.掌握复数加法、乘法运算律；能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算。

4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义

5.领会复数问题实数化的思想方法，能应用数形结合、待定系数法等数学思想方法解决复数问题。

教学重点：

复数有关概念、复数的几何意义、运算法则的知识梳理和具体的应用．

教学难点：

复数的有关概念、复数的几何意义、复数的运算法则的简单引用

核心知识点

1．复数的有关概念及分类

(1)代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中实部为a，虚部为b；

(2)共轭复数为z＝a－bi(a，b∈R)．

(3)复数的分类

整数有理数

分数实数b＝0无理数无限不循环小数a，b∈R纯虚数a＝0虚数b≠0非纯虚数a≠0

复数a＋b

①若

z＝a＋bi(a，b∈R)是实数，则z与z的关系为z＝z. ②若z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数，则z与z的关系为z＋z＝0(z≠0)．

2．与复数运算有关的问题

(1)复数相等的充要条件

a＝c，a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)．

b＝d

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(2)复数的模

复数z＝a＋bi的模|z|＝a2＋b2，且z·z＝|z|2＝a2＋b2. (3)复数的四则运算，若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R) ①加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；

②减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；

③乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；

z1a1a2＋b1b2＋a2b1－a1b2ia1a2＋b1b2a2b1－a1b2④除法：z＝＝222＋2i(z2≠0)；

a2＋b2a2＋b2a2222＋b23．复数的几何意义

(1)任何一个复数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应→着一个从原点出发的向量OZ. (2)复数加法的几何意义

→→→→若复数z1、z2对应的向量OZ1、OZ2不共线，则复数z1＋z2是以OZ1、OZ2为→两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数．

(3)复数减法的几何意义

→→复数z1－z2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．

题型探究

类型一

复数的概念

例题1

当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i. (1)为实数；(2)为纯虚数；

(3)对应的点在第一象限内；

(4)复数z对应的点在直线x－y＝0.

解

(1)z∈R⇔a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2. 2a－2a＝0，a＝0或a＝2，(2)z为纯虚数，2即故a＝0. a－3a＋2≠0，a≠1且a≠2.2a－2a>0，(3)z对应的点在第一象限，则2

a－3a＋2>0，

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a<0，或a>2，∴a<1，或a>2，

∴a＜0，或a＞2. ∴a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．

(4)依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，∴a＝2. 规律方法

处理复数概念问题的两个注意点

(1)当复数不是a＋b以便确定其实部和虚部. (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.

a，b∈R的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，类型二

复数的几何意义

例题2

(1)在复平面内，复数－2＋3i(i是虚数单位)所对应的点位于(

) 3－4iA．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

(2)已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点→→→分别为A，B，C.若OC＝2OA＋OB，则a＝________，b＝________. (3)若复数z满足|z＋3＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．

－2＋3i－2＋3i3＋4i－18＋i解析

(1)＝＝25

253－4i－2＋3i181＝－25＋25i，∴复数对应的点位于第二象限．

3－4i→→→(2)∵OC＝2OA＋OB

∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi) 1＝4＋a，a＝－3，即∴

－4＝6＋b，b＝－10.（3）

因为|z|＝1且z∈C，作图如图：

所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝22－1. 规律方法

|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，3/4

可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.

类型三

复数的四则运算

例题3

(1) 已知z是z的共轭复数，若z·zi＋2＝2z，则z＝(

) A．1＋i

B．1－i

C．－1＋i

D．－1－i 3＋2iz1(2)已知复数z1＝2－3i，z2＝2，则＝(

) z22＋iA．－4＋3i

B．3＋4i

C．3－4i

D．4－3i (1)解析

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入z·zi＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，

2a＝2，a＝1，由复数相等的条件得，2∴∴z＝1＋i，故选A. 2a＋b＝2b，b＝1.z1(23i)(2i)2(23i)(32i)(2i)213i(34i)(2)z＝43i

232i(32i)(32i)13规律方法

(1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；

(2)复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成

a＋bia，b∈R. (3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化.

课堂小结

1.本章核心知识点；

2.数学思想： 类比思想、数形结合思想和分类讨论；

3.三大题型：

复数的概念、复数的几何意义、复数的四则运算；

作业 金版教程 P73 第三章水平测试

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