1.3 二项式定理（通用）主要内容及教案内容

“杨辉三角”与二项式系数的性质教学设计

一、教材背景分析

1．教材的地位和作用

《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时. 教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能。

本节内容以前面学习的二项式定理为基础，由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，可以画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这对发现规律，形成证明思路等都有好处. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识. 研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用. 2．学情分析

知识结构：学生已学习两个计数原理和二项式定理，再让学生课前探究“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，并从函数的角度研究二项式系数的性质. 心理特征：高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，恰时恰点的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题.

3．教学重点与难点

重点：二项式系数的性质及“赋值法”的应用.

难点：赋值法的灵活应用. 二、教学目标

1．通过课前学生预习，根据导学案的启发和引导先直观感触“杨辉三角”同行数字的规律以及相邻两行数字之间的关系进入本节课的研讨重点。

2．通过学生从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力. 3．通过体验“发现规律、寻找联系、性质运用”的学习过程，使学生掌握二项式系数的一些性质，体会用赋值法的数学思想方法解决与系数相关的问题. 4．通过恰时恰点的问题引入、引申，采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究

的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，培养学生的小组合作精神. 三、教法选择和学法指导

教法：问题引导、合作探究．

学法：从课前探究和课上展示中感知规律，结合“杨辉三角”和函数图象性质领悟性质，在探究证明性质中理解知识，螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想. 四、教学基本流程设计

学案导学先预习

集体反思再小结

拓展提升有探究

合作交流议方法

联系旧知探新知

感知规律悟性质

五、教学过程

1.

学案导学先预习

通过课前学生预习，根据导学案的启发和引导先直观感触“杨辉三角”同行数字的规律以及相邻两行数字之间的关系进入本节课的研讨重点。

设计意图：引导学生开展自主学习，了解“杨辉三角”，探究与发现“杨辉三角”包含的规律，为学习二项式系数的性质埋下伏笔. 2. 感知规律悟性质

通过课前预习，同学们观察发现了杨辉三角的一些规律，并且知道杨辉三角的第n行就是(ab)n展开式的二项式系数，(ab)n展开式的二项式系数具有杨辉三角同行及相邻行之间的规律. 设计意图：寻找二项式系数与杨辉三角的关系，从而让学生理解二项式系数具有的性质也即是知识链接中组合数的两个性质. 3.

联系旧知探新知

探究1：

试证在(ab)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 122赋值法：已知(1x)nC.0nCnxCnxrCrnxnCnnx，

n12令x1，则2nC0nCnCnCnn．

这就是说，(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n．

n1n1n22在展开式(ab)nC0bC2bnaCnanannCnb中，令a1,b1，

123则得(11)nC0nCnCnCnn，

(1)nCn2即0(C0nCn3)(C1nCn2)，所以C0nCn3C1nCn，

在(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 设计意图：通过学生归纳猜想各二项式系数的和，引导学生验证猜想结论是否正确；同时为了突破利用赋值法证明二项式系数性质的难点，引导学生从模型化的角度出发，多角度的分析问题、探究问题、解决问题，将学生思维推向高潮，既加深学生对前后知识的内在联系的理解，又从深度和广度上让学生感受数学知识的串联和呼应. 4. 合作交流议方法

探究2：

已知：(12x)7a0a1xa2x2a7x7

a0

a0a1a2a3a4a5a6a7

a1a2a3a4a5a6a7

a0a1a2a3a4a5a6a7

a1a3a5a7

a0a2a4a6

六.教学小结

（1）

二项式系数的三个性质（对称性，增减性，二项式系数和）。

（2）

数学思想：函数的思想（单调性，图像，最值）