3.1.2 复数的几何意义教学设计及教案分析

3．1.2

复数的几何意义

1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．

2．掌握实轴、虚轴、模等概念．

3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．

1．复平面的概念

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

2．复数的两种几何意义

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)←――→复平面内的点Z(a，b)．

一一对应→(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)←――→平面向量OZ. 一一对应3．复数的模

→→复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝

a2＋b2．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．(

) (2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．(

) (3)若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(

) 答案：(1)√

(2)×

(3)×

12．复数z＝－＋2i对应的点位于(

) 2A．第一象限

C．第三象限

答案：B 3．复数z＝1＋3i的模等于(

) A．2

C．10

答案：C →4．向量AB＝(2，－3)对应的复数z＝________．

答案：2－3i B．4 D．22 B．第二象限

D．第四象限

复数与复平面内的点

已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．

(1)在实轴上；

(2)在第三象限．

1【解】

(1)若对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝.

2(2)若z对应的点在第三象限，则有

2a－1<0，1解得－1

22a－1<0.1－1，. 故a的取值范围是2

本例中复数z不变，若点Z在抛物线y2＝4x上，求a的值．

解：若z对应的点(a2－1，2a－1)在抛物线y2＝4x上，则有(2a－1)2＝4(a2－1)，即4a25－4a＋1＝4a2－4，解得a＝. 4

利用复数与点的对应解题的步骤

(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．

(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．

1.(2017·临沂高二检测)已知复数z＝a＋a2i(a<0)，则复数z在复平面内对应的点在(

) A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

解析：选B．因为a<0，所以复数z＝a＋a2i对应的点(a，a2)位于第二象限．

2．(2016·高考全国卷甲)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(

) A．(－3，1)

C．(1，＋∞)

B．(－1，3) D．(－∞，－3) m＋3>0，解析：选A．由题意知即－3

m－1<0，3．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴

负半轴上，分别求复数z. 解：若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，

所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.

若复数z的对应点在实轴负半轴上，

2m－m－2＜0，则2所以m＝1，所以z＝－2.

m－3m＋2＝0，

复数与复平面内的向量

→→

(1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－→3＋2i，那么向量BA对应的复数是(

) A．－5＋5i

C．5＋5i

B．5－5i D．－5－5i π(2)在复平面内，把复数3－3i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数3是________．

→→【解析】

(1)向量OA，OB对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与→→复平面内的点一一对应，可得向量OA＝(2，－3)，OB＝(－3，2)．

→→→由向量减法的坐标运算可得向量BA＝OA－OB＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，

→根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA对应的复数是5－5i.

(2)3－3i对应向量为(3，－3)，与x轴正半轴夹角为30°，顺时针旋转60°后所得向量终点在y轴负半轴上，且模为23.故所得向量对应的复数是－23i.

【答案】

(1)B

(2)－23i

(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．

(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．

→

1.已知O是原点，点M的坐标是(－3，－4)，则向量OM对应的复数z＝(

) A．－3－4i

C．3－4i

B．－3＋4i D．3＋4i →解析：选A．OM对应的复数等于点M对应的复数，则z＝－3－4i.

→2．在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数为2＋i. →(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB对应的复数；

(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．

→解：(1)设向量OB对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2，1)．

根据对称性可知：x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.

(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，

则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知：x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.

复数的模

(1)(2016·高考全国卷乙)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(

) A．1

C．3

B．2 D．2 (2)设z∈C，则满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

①|z|＝2；②|z|≤3. 【解】

(1)选B．因为x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，所以|x＋yi|＝|1＋i|＝12＋12＝2.

(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，

①|z|＝2，所以x2＋y2＝2，

所以点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．

②|z|≤3，所以x2＋y2≤9.

所以点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．

(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．

(2)从几何意义上理解，复数的模表示点Z到原点的距离，类比向量的模，可进一步引申：|z－z1|表示点Z与点Z1之间的距离．如|z－i|＝1表示点Z与(0，1)之间的距离为1，所以点Z的轨迹是以(0，1)为圆心，以1为半径的圆．

1.已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是(

) A．z1>z2

C．|z1|>|z2|

B．z1

D．|z1|<|z2| 解析：选D．|z1|＝|5＋3i|＝52＋32＝34，

|z2|＝|5＋4i|＝52＋42＝41.

因为34<41，所以|z1|<|z2|.

2．已知复数z＝3＋ai(a∈R)，且|z|<4，求实数a的取值范围．

解：法一：因为z＝3＋ai(a∈R)，

所以|z|＝32＋a2，

由已知得32＋a2<42，

所以a2<7，所以a∈(－7，7)．

法二：由|z|<4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，

所以线段AB(除去端点)为动点Z(3，a)的集合，

由图可知－7

1．复平面(实轴、虚轴)上的点与复数的对应

(1)复平面内点的坐标与复数实部、虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示．

(2)实轴上的点与复数的对应：实轴上的点都表示实数．

(3)虚轴上的点与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．

2．复数的几何意义的两个注意点

(1)复数与复平面上的点：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)．

→(2)复数与向量的对应：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量OZ是以原点O为起点的，否→则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ相等的向量有无数个．

1．设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是(

) A．a＜－1或a＞1

C．a＞1

B．－1＜a＜1 D．a＞0 解析：选B．因为|z1|＝a2＋4，|z2|＝4＋1＝5，

所以a2＋4＜5，即a2＋4＜5，

所以a2＜1，即－1＜a＜1. 2．若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z|＝________．

解析：复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2，所以z＝3i，所以|z|＝3.

答案：3 3．求实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点：

(1)位于第二象限；

(2)位于直线y＝x上．

解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．

a2＋a－2<0，(1)由点Z位于第二象限，得2

a－3a＋2>0，解得－2

故满足条件的实数a的取值范围为(－2，1)．

(2)由点Z位于直线y＝x上，得

a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.

故满足条件的实数a的值为1.

[A

基础达标] 1．下列不等式正确的是(

) A．3i＞2i

C．|2－i|＞2

B．|2＋3i|＞|1－4i| D．i＞－i 解析：选C．两虚数不能比较大小，A、D错误；又|2＋3i|＝13＜|1－4i|＝17，B不正确，故选C．

2．给出复平面内的以下各点：A(3，1)，B(－2，0)，C(0，4)，D(0，0)，E(－1，－5)，则这些点中对应的复数为虚数的点的个数是(

) A．1

C．3

B．2 D．4 解析：选C．A，C，E三点对应的复数分别为3＋i，4i，－1－5i，是虚数，B，D对应的是实数，因此共有3个点对应的复数为虚数．

→→3．(2017·湖南株洲期末)向量OZ1对应的复数是5－4i，向量OZ2对应的复数是－5＋4i，→→则OZ1＋OZ2对应的复数是(

) A．－10＋8i

C．0

B．10－8i D．10＋8i →→→解析：选C．因为向量OZ1对应的复数是5－4i，向量OZ2对应的复数是－5＋4i，所以OZ

1＝(5，－4)，OZ2＝(－5，4)，所以OZ1＋OZ2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以OZ1＋OZ2→→→→→对应的复数是0.

4．设z＝(2m2＋2m－1)＋(m2－2m＋2)i(m∈R)，则下列结论中正确的是(

) A．z在复平面内对应的点在第一象限

B．z一定不是纯虚数

C．z在复平面内对应的点在实轴上方

D．z一定是实数

13解析：选C．2m2＋2m－1＝2(m＋)2－，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1>0，则z在复平面内22对应的点一定在实轴上方，故选C．

5．已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是(

) A．一个圆

C．两点

B．两个圆

D．线段

解析：选B．由|z|2－3|z|＋2＝0，得(|z|－1)·(|z|－2)＝0，所以|z|＝1或|z|＝2.由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆．

6．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，则实数x的取值范围是________．

解析：由题意得(x－1)2＋(2x－1)2<10，

所以5x2－6x－8<0.

所以(5x＋4)(x－2)<0，

4所以－

54－，2

答案：57．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________．

解析：设复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，－5)，P2(1，－1)，P3(－2，a)，由已知可得－5＋1a＋1＝，从而可得a＝5.

3－1－2－1答案：5 →8．在复平面内，O为坐标原点，向量OB对应的复数为3－4i，若点B关于原点的对称→点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量OC对应的复数为________．

解析：因为点B的坐标为(3，－4)，

所以点A的坐标为(－3，4)，

所以点C的坐标为(3，4)，

→所以向量OC对应的复数为3＋4i.

答案：3＋4i 9．(2017·忻州高二检测)已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，判断|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系．

解：由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，得x＝3，y＝－4.

而|1－5i|＝1＋(－5)2＝26，

|x－yi|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，

|y＋2i|＝|－4＋2i|＝(－4)2＋22＝20，

因为20<5<26，

所以|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.

10．实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：

(1)第三象限；

(2)直线x－y－3＝0上．

x2＋x－6<0，解：(1)当实数x满足2

x－2x－15<0，即－3

(2)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．

[B

能力提升] 11．已知复数z满足|z|＝

2，则|z＋3－4i|的最小值是(

) A．5

C．7

B．2 D．3 解析：选D．|z|＝2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z＋3－4i|的最小值为(－3)2＋42－2＝5－2＝3.

12．复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．

解析：复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为该点位于第二象限，

a－2＜0，所以

a＋1＞0，解得－1＜a＜2.

由条件得|z|＝(a－2)2＋(a＋1)2＝2a2－2a＋5

＝19a2－a＋＋＝24219a－＋，

2222

因为－1＜a＜2，所以|z|∈答案：32

2，332.

2，3→→13．(2017·广西柳州期末)已知O为坐标原点，OZ1对应的复数为－3＋4i，OZ2对应的复→→数为2a＋i(a∈R)．若OZ1与OZ2共线，求a的值．

→→→→解：因为OZ1对应的复数为－3＋4i，OZ2对应的复数为2a＋i，所以OZ1＝(－3，4)，OZ2→→→→＝(2a，1)．因为OZ1与OZ2共线，所以存在实数k使OZ2＝kOZ1，即(2a，1)＝k(－3，4)＝(－3k，4k)，

2a＝－3k，所以解得1＝4k，3

a＝－8.1k＝，43即a的值为－.

81313→→14．(选做题)在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量OZ1，OZ2，2222→OZ3，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．

13解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为(，)，(－2213→→→1，0)，(，－)，则向量OZ1，OZ2，OZ3，如图所示．

22

|z1|＝

13()2＋()2＝1，

2213()2＋(－)2＝1.

22|z2|＝|－1|＝1，|z3|＝

在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．