二 一般形式的柯西不等式教学设计第二课时

柯西不等式

教学目标:

1．掌握二维柯西不等式的代数形式、向量形式和三角不等式．

2．掌握柯西不等式的一般形式．

3．能利用柯西不等式解决不等式证明和最值问题．

教学重点: 理解并掌握柯西不等式及其推广形式．

教学难点:

柯西不等式在证明不等式和求最值中的应用．

教学过程:

一、课堂探究

探究1：证明不等式：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2

分析一：比较法证明；

分析二：分析法证明．

设计意图：通过课前自主预习，复习回顾不等式的证明方法，让学生初步认识柯西不等式的代数形式.

定理1 柯西不等式：

若a，b，c，d为实数，则

(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2

，当且仅当

ad＝bc 时，等号成立．

ac问题1：在柯西不等式中，取等号的条件可以写成＝吗？

bdac分析：不可以．当b·d＝0时，柯西不等式成立，但＝不成立．

bd设计意图：体会柯西不等式的广泛性和一般性.

22探究2：（1）已知ab1，xy1，求证：axby≤1．

22分析：直接使用柯西不等式证明．

设计意图：熟悉柯西不等式的结构特征及简单应用.

（2）设在平面直角坐标系xOy中有向量(a,b),(c,d)，|α||β|与|α·β|的大小关系如何.

设计意图：找到柯西不等式的几何意义.

定理2 柯西不等式的向量形式：

设α，β为平面上的两个向量，则

|α||β|≥|α·β| ，当且仅当

α和β共线(平行)

时，等号成立.

22探究3：设a,b,c,dR，求证：a2b2c2d2≥(ac)(bd)，等号当且仅当ad＝bc时成立．

分析：两边平方后用分析法证明

设计意图：进一步体会柯西不等式的应用，为引入三角形不等式做铺垫.

1

定理3 三角形不等式：

设x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，那么

（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.

问题2：三角形不等式的几何意义是什么？

分析：三角形的两边之和大于第三边，等号成立时三点共线．

探究4：柯西不等式能否推广到n个元素的一般形式．

定理4 柯西不等式的一般形式：

设n为大于1的自然数，ai,bi（i1,2,,n）为实数，则

222222(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，

等号当且仅当bb1b2n时成立（当ai0时，约定bi0，i1,2,,n）. a1a2an

二、例题选讲

例题1．（1）已知a,b为实数，证明(a4b4)(a2b2)≥(a3b3)2．

（2）已知x,yR，xy2，求证：11≥2. xy设计意图：熟悉柯西不等式在证明不等式中的应用.

（1）分析：根据形式直接使用柯西不等式．

证明：由柯西不等式得

(a4b4)(a2b2)[(a2)2(b2)2](a2b2)≥(a2ab2b)2(a3b3)2

（2）分析：将11与xy相乘，再利用柯西不等式．

xy证明：

1111111()(xy)≥(xy2xy2x22x1yy)22

例题2．（1）已知x2y1，求xy的最小值. （2）求函数y3x546x的最大值. 设计意图：熟悉柯西不等式在求最值中的应用. （1）分析：由题意配凑出柯西不等式的形式．

证明：由柯西不等式得(xy)(12)≥(x2y)1

所以xy≥222222211xy1222.当且仅当，即x,y时，xy取最小值. 551255（2）分析：由柯西不等式配凑出常数．

2

证明：由柯西不等式得3x546x所以3x546x≤5

当且仅当36x4x5，即x

≤32242x5226x25

134时，函数y3x546x取最大值5. 25111≥9. abc例题3．（1）若a,b,c为正数，且abc1，求证：2222（2）已知a2b3c4d5，求abcd的最小值.

设计意图：熟悉柯西不等式一般形式在不等式的证明与求最值中的应用.

（1）分析：将111与abc相乘，再利用柯西不等式的一般形式．

abc2111111证明：由柯西不等式得abc≥abc9

bcabca又因为abc1，所以111≥9. abc（2）分析：根据柯西不等式的一般形式的结构特点，配凑出柯西不等式. 证明：由柯西不等式得

a22b2c2d212223242≥a2b3c4d25

2222所以abcd≥当且仅当5

65abcd11122222，即a,b,c,d时，abcd取最小值. 612346323

三、课堂小结

1．二维柯西不等式的代数形式，向量形式，三角形式的结构特征．

2．应用柯西不等式证明不等式和求最值时注意等号成立的条件．

3．使用柯西不等式时的转化与化归思想．

四、当堂检测

1．设a,bR，ab1，求证11≥4. ab2111111证明：由柯西不等式得ab≥ab4

ababba2．已知ab1，求证acosbsin≤1. 证明：由柯西不等式得acosbsin所以acosbsin1≤1

3 2222222≤abcossin1



3．设a,b为正数，求(a)(2b1b1)的最小值. 2a211119)≥a解：由柯西不等式得(a)(2b2b

b2a22ab911111)取最小值.

当且仅当a2b，即ab时，(a)(2b2b2a2b2a4．已知3x2y1，求x2y2的最小值.

解：由柯西不等式得x2y23222≥3x2y1

2所以x2y2≥1

13132,y时，x2y2取最小值. 131313当且仅当2x3y，即x

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