2.基本不等式优秀获奖教案

基本不等式

教学目标: 1．了解两个正数的算术平均数与几何平均数．

2．理解定理1和定理2(基本不等式)．

3．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．

教学设计：

一、引入：

我们已经学习过重要不等式

a²+b²≥2ab，下面将它以定理的形式给出. 二、定理1

如果a, b∈R, 那么a²+b²≥2ab.当且仅当a=b时等号成立。

让学生自己给出证明. 探究：

你能从几何的角度解释定理1吗？

分析：a²与b²的几何意义是正方形面积，ab的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。

几何意义：如图把实数a，b作为线段长度，以a≥b为例，在正方形ABCD中，

AB=a；在正方形CEFG中，EF=b.则

S正方形ABCD+S正方形CEFG=a²+b².

S矩形BCGHb A H a I K D G F b S矩形CEFG2ab，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。B J a C b E 即a²+b²≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形，此时有

a²+b²=2ab。

三、定理2：将定理1做简单变形即可得到定理2，如下：

如果a,b>0，那么证明：因为

所以ab2ab2，当且仅当a=b时，等号成立. ababab22ab2ab

ab2，

b

上式当且仅当其中ab2a，即a=b时，等号成立。

ab为a,b的算术平均，a,b的几何平均，于是基本不等式可以表述为: 两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

几何意义为:

如图在直角三角形中，CO、CD分A O C 别是斜边上的中线和高，设AD=a，DB=b，则由图D B

形可得到基本不等式的几何解释。

四、.教学例题

题型一、利用基本不等式证明不等式

a2b2c2例1已知a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. bca【精彩点拨】

观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．

【自主解答】

∵a>0，b>0，c>0，

a2∴＋b≥2 ba2·b＝2a，

bb2c2同理：＋c≥2b，＋a≥2c. ca三式相加得：

a2b2c2＋＋＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，

bcaa2b2c2∴＋＋≥a＋b＋c. bca规律总结：

1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明．

2．当且仅当a＝b＝c时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．

[再练一题] xyz1111．已知x，y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋.yzzxxyxyz【证明】

∵x，y，z都是正数，

xy1xy2＋≥. ∴＋＝yzzxzyxzyz2zx2同理可得＋≥，＋≥. zxxyxxyyzy将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，

xyz111得＋＋≥＋＋. yzzxxyxyz题型二、利用基本不等式求最值

y2例2设x，y，z均是正数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．

xzy2【精彩点拨】

由条件表示y，代入到中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，xz求出最小值，但要注意等号取到的条件．

[来源学科网ZXXK]

x＋3z【自主解答】

由x－2y＋3z＝0，得y＝，222y2x＋9z＋6xz1x9z∴＝＝z＋x＋6

xz4xz4[来源学§科§网Z§X§X§K]

1≥24x9z·＋6＝3. zxy2当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3. xz【答案】

3 规律总结：

1．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题．

2．使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②其和或积为定值；③等号必须成立，即“一正、二定、三相等”．在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败的关键．

[再练一题] 192．已知x>0，y>0，且＋＝1，试求x＋y的最小值. xy19【解】

∵x>0，y>0，且＋＝1，

xy19∴x＋y＝(x＋y)x＋y

y9x＝＋＋10≥2xyy9x·＋10＝16. xyy9x当且仅当＝，即y＝3x时等号成立．

xy19又＋＝1，∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.

xy.六、课后作业

第三课时

三个正数的算术—几何平均不等式

目的要求：

了解三个正数的算术—几何平均不等式及其一般形式. 重点难点：三个正数的算术—几何平均不等式及其应用。

教学设计：

一、

引入：

思考：类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a，b，c，可能有怎样的不等式成立？

类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a，b，c，可能有：若

a,b,cR

，那么

abc33abc，当且仅当a=b=c时，等号成立．

二、给出定理

证明:若a,b,cR,则ay)333b33c233abc,当且仅当2abc时,等号成立.和的立方公式：(

x立方和公式：

x定理

如果

3x3x2y3xyy23y(xy)(xxyy)abc33a,b,cR，那么

abc当且仅当a=b=c时，等号成立．

（三个正数的算术平均不小于它们的几何平均）

说明：（１）若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值．

（２）若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值．

定理推广：n个正数的算术—几何平均不等式：

三、教学实例

若a1,a2,a3,,anR,则a1a2a3annna1a2a3an,

当且仅当a1a2a3an时,等号成立.

（1）出示例证明因为5已知x,y,zR3,求证xyz327xyz.xyz33xyz0,所以xyz27xyz,即xyz327xyz.

（三个正数的算术—几何平均不等式的一个简单变形，主要是这种变形的意识很重要）. （2）出示例6

如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

解：设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则

1433a V(a2x)x2(a2x)(a2x)4x1(a2x)(a2x)4x43a62a27

当且仅当

a2xa2x4x

，即当x时，不等式取等号，此时Ｖ取最大16值．即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的四、小结：

时，盒子的容积最大．

回顾基本不等式及三个正数的算术—几何平均不等式以及它们的限制条件，应用它们时的注意点。

五、课后作业