2.2.4 点到直线的距离优秀教案设计

2.2.4 点到直线的距离

学习目标

1．掌握点到直线的距离公式，会求两平行线间的距离．

2．会利用距离公式解决点关于线对称和线关于线的对称的问题．

基础知识

1．点到直线的距离公式

已知点P(x1，y1)，直线l的方程：Ax＋By＋C＝0，则点P到l的距离d＝________. 归纳总结

(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离(这是从运动的观点来看)．

(2)点到直线的距离公式只与直线一般式方程的系数有关，所以公式适用于所有的直线．使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程．

做一做1－1

点P(2，－3)到直线l：x－2y－1＝0的距离为__________．

做一做1－2

若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，则m＝__________. 2．点到几种特殊直线的距离

(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；

(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；

(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝a的距离d＝|y0－a|，当a＝0时，即x轴，d＝|y0|；

(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝b的距离d＝|x0－b|，当b＝0时，即y轴，d＝|x0|. 做一做2

点P(2，－6)到直线y＝－5的距离为__________，到x＝9的距离为__________．

3．两平行直线间的距离公式

设直线l1，l2的方程分别为Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0，其中C1≠C2，则l1与l2之间的距离d＝__________. 做一做3

直线x－y－2＝0与直线x－y＋1＝0的距离是(

) 13232A．

B．

C．

D．

2222重点、难点

求两平行线间的距离的注意事项

剖析：(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，这里使用了化归与转化思想．

(2)d＝|C1－C2|可作为两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离公A2＋B2

式使用．

(3)使用公式d＝|C1－C2|A2＋B2时要注意，两平行线的方程中关于x，y的一次项系数必须是对应相同的，即两直线的方程应为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．

(4)求两平行线间的距离共有两种方法：方法一是利用公式d＝|C1－C2|A2＋B2；方法二是先在一条直线上取一点P，求得的P到另一条直线的距离即是两平行线间的距离．

典型例题

题型一

点到直线的距离公式

例1

若点(－2,2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离为4，求m的值．

反思：点到直线的距离公式中体现了方程思想，本题中应注意含有绝对值的方程有两解．

题型二

两平行线之间的距离

例2

已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是2，求l1的方程．

反思：求平行线之间的距离时，一定注意把两直线方程中x，y项的相应系数化为相同值，否则，会使结果出错．

题型三

点到直线的距离公式的综合应用

例3

直线4x＋3y－12＝0与x轴、y轴分别交于点A，B．

(1)求∠BAO的平分线所在的直线的方程；

(2)求点O到∠BAO的平分线的距离．

反思：要注意结合图示对第(1)小题的结果进行检验，不然会出现增解现象．

例4

已知正方形的中心为G(－1,0)，一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．

反思：在正方形载体中一定要注重对称性及平行、垂直的利用，另外，要注意总结设直线方程形式的技巧．

题型四

易错辨析

例5

求经过点P(－3,5)，且与原点距离等于3的直线方程．

错解：设所求直线方程为y－5＝k(x＋3)，

整理，得kx－y＋3k＋5＝0. ∴原点到该直线的距离d＝8∴15k＋8＝0.∴k＝－. 1588－＋5＝0，即8x＋15y－51＝0. 故所求直线方程为－x－y＋31515错因分析：没有考虑斜率不存在时的情况，用点斜式设直线方程时，必须先弄清斜率是否存在，否则可能丢解．

随堂练习

|3k＋5|＝3. k2＋1

1.点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(

) 13322A．

B．

C．

D．

22222.点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，则O点到P点的最小值为(

) A．10

B．22

C．6

D．2 3.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有(

) A．3条

B．2条

C．1条

D．0条

4.直线2x－y－1＝0与直线6x－3y＋10＝0的距离是__________．

5.已知在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．

参考答案

基础知识

|Ax1＋By1＋C|1．

A2＋B2做一做1－1

【答案】

75 5做一做1－2

【答案】7或－3

|4m－8|【解析】P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离d＝＝4，解得m＝7或－3. 5做一做2

【答案】1

7 3．|C1－C2|

A2＋B2做一做3 【答案】

D 典型例题

例1

解：由点(－2,2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离为4，

|3×(－2)＋4×2＋m||2＋m|可得d＝＝＝4，

532＋42解得m＝18或－22. 因此，m的值为18或－22. 例2

解：∵l1∥l2，

∴可设l1的方程为x＋y＋c＝0. |c－(－1)|∴l1与l2的距离为＝2. 1＋1∴c＝1或c＝－3. 从而l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. 例3

解：(1)∵直线4x＋3y－12＝0与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴令x＝0得y＝4，

令y＝0，得x＝3，即A(3,0)，B(0,4)．

由题图可知∠BAO为锐角，

∴∠BAO的平分线所在直线的倾斜角为钝角，其斜率为负值．

设点P(x，y)为∠BAO的平分线上任意一点，

则点P到直线OA的距离为|y|，点P到直线AB的距离为

|4x＋3y－12||4x＋3y－12|＝，

542＋32∴|y|＝|4x＋3y－12|. 5

整理，得2x－y－6＝0或x＋2y－3＝0. ∵∠BAO的平分线所在直线的斜率为负值，

∴∠BAO的平分线所在直线的方程为x＋2y－3＝0. (2)∵∠BAO的平分线所在直线的方程为x＋2y－3＝0，

|0＋2×0－3|3∴点O到直线x＋2y－3＝0的距离为d＝＝5. 512＋223即点O到∠BAO的平分线的距离为5. 5例4

解：正方形的中心G(－1,0)到四边的距离均为|－1－5|12＋32＝6

. 10|－1＋C1|6设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为x＋3y＋C1＝0，则＝，

1010即|C1－1|＝6，解得C1＝－5(舍去)或C1＝7. 故与已知边平行的直线方程为x＋3y＋7＝0. |3×(－1)＋C2|6设正方形另一组对边所在直线方程为3x－y＋C2＝0，则＝，

1010即|C2－3|＝6，解得C2＝9或C2＝－3. 所以正方形另两边所在直线的方程为3x－y＋9＝0和3x－y－3＝0. 综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0. 例5

正解：当直线的斜率存在时，设所求直线方程为y－5＝k(x＋3)，

整理，得kx－y＋3k＋5＝0. ∴原点到该直线的距离d＝8∴15k＋8＝0.∴k＝－. 15故所求直线方程为y－5＝－即8x＋15y－51＝0. 当直线的斜率不存在时，即x＝－3也满足题意．

故满足题意的直线方程为8x＋15y－51＝0或x＝－3. 随堂练习

1．【答案】C

|1－(－1)＋1|32【解析】由点到直线的距离公式可得＝. 222．【答案】B

8(x＋3)，

15|3k＋5|＝3. k2＋1

|－4|【解析】OP的最小值即为O到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝22. 23．【答案】B

【解析】当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为y－3＝k(x－1)，由d＝|3－k|1＋k2＝1，4得k＝；当直线的斜率不存在时，直线为x＝1，所以符合条件的直线共有两条．

31354．【答案】

15【解析】直线2x－y－1＝0可化为6x－3y－3＝0，

|－3－10|13135则两直线间的距离d＝22＝＝. 15356＋35．解：设点C到直线AB的距离为d，

由题意知：|AB|＝[3－(－1)]2＋(2－5)2＝5，

11∴S△ABC＝|AB|•d＝×5×d＝10. 22∴d＝4. y－2x－3直线AB的方程为＝，即3x＋4y－17＝0. 5－2－1－3又∵点C在直线3x－y＋3＝0上，设C(x0,3x0＋3)，

|3x0＋4(3x0＋3)－17|∴d＝

32＋42|15x0－5|＝＝|3x0－1|＝4. 55∴3x0－1＝±4.∴x0＝－1或. 35∴点C的坐标为(－1,0)或3，8.