2.基本不等式教学实录与评析

第一讲

不等式和绝对值不等式

1.1

不等式

1.1.2

基本不等式

A级

基础巩固

一、选择题

1．已知a，b∈R，且ab

≠0，则下列结论恒成立的是(

) A．a＋b≥2ab

abC.b＋a≥2

abB.＋≥2 baD．a2＋b2＞2ab

解析：当a，b都是负数时，A不成立；

当a，b一正一负时，B不成立；

当a＝b时，D不成立，因此只有C是正确的．

答案：C 2．下列各式中，最小值等于2的是(

) xyA.＋

yx1C．tan θ＋

tan θx2＋5B.2

x＋4D．2x＋2－x

解析：因为2x＞0，2－x＞0，

所以2x＋2－x≥22x2－x＝2.

当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立．

答案：D 533．已知＋＝1(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是(

) xyA．15

C．60

53解析：因为＋≥2xy所以2B．6 D．1 15(当且仅当x＝10，y＝6时，取等号)，

xy15≤1，所以xy≥60，

xy故xy的最小值为60.

答案：C

144．设x，y为正数，则(x＋y)x＋y的最小值为(

) A．6

C．12

B．9 D．15 14y4xy解析：x，y为正数，(x＋y)x＋y＝1＋4＋＋≥9，当且仅当xyx4x＝，即y＝2x时，等号成立，选B. y答案：B xy5．(2015·福建卷)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则aab＋b的最小值等于(

) A．2

C．4

B．3 D．5 11xy解析：因为直线＋＝1过点(1，1)，所以＋＝1.

abab又a，b均大于0，

11ba＋所以a＋b＝(a＋b)ab＝1＋1＋＋≥2＋2abba·＝2＋2＝ab4，当且仅当a＝b时，等号成立．

答案：C

二、填空题

16．设x＞0，则函数y＝3－3x－的最大值是________．

x1解析：y＝3－3x＋x≤3－23，

13当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．

x3所以ymax＝3－23. 答案：3－23

17．已知函数f(x)＝2x，点P(a，b)在函数y＝(x＞0)的图象上，x那么f(a)·f(b)的最小值是________．

1解析：点P(a，b)在函数y＝(x＞0)的图象上，所以有ab＝1.

x因为a＞0，b＞0，所以f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b≥22当且仅当a＝b＝1时，等号成立．

答案：4 118．已知lg x＋lg y＝2，则＋的最小值为________．

xy解析：因为lg x＋lg y＝2，

所以x＞0，y＞0，lg(xy)＝2，所以xy＝102，

11所以＋≥2xy1答案：

511＝，当且仅当x＝y＝10时，等号成立．

xy5ab＝4，

三、解答题

19．已知x＜0，求2x＋的最大值．

x解：由x＜0，得－x＞0，

1得－2x＋≥2－x1（－2x）－x＝22，

1所以2x＋≤－22，

x1当且仅当－2x＝，

－x即x＝－2时等号成立．

21故2x＋取得最大值－22. xx2x22310．已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：＋x1x2x21＋≥1. x3证明：因为x1，x2，x3大于0，且x1＋x2＋x3＝1，

x22所以＋x1≥2 x1x22·x＝2x2，

x112x2x31同理＋x2≥2x3，＋x3≥2x1.

x2x3x2x2x2231因此＋＋≥x1＋x2＋x3＝1.

x1x2x3x2x2x2231故＋＋≥1. x1x2x3B级

能力提升

1．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如

果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(

) A．5千米处

C．3千米处

B．4千米处

D．2千米处

20解析：由已知：y1＝，y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)．

x费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋当且仅当0.8x＝答案：A

x2－y22．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)，xy当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．

x2－y2解析：因为x⊗y＝，

xyx2－y2（2y）2－x2x2＋2y22x2·2y2所以x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝xy2yx2xy2xy22xy＝2.

2xy其中x＞0，y＞0，当且仅当x2＝2y2，即x＝2y时等号成立．

答案：

2 x3．若对任意x＞0，2≤a恒成立，求实数a的取值范围．

x＋3x＋121x＋3x＋11解：由x＞0，知原不等式等价于0＜≤＝x＋＋3恒axx20≥2 x0.8x·20＝8.

x20，即x＝5时等号成立．

x成立．

1又x＞0时，x＋≥2 x1x·＝2，

x

1所以x＋＋3≥5，当且仅当x＝1时，取等号．

x1因此x＋x＋3min＝5，

11从而0＜≤5，解得a≥.

a51故实数a的取值范围为，＋∞. 5