二 用数学归纳法证明不等式第一课时教学实录

《数学归纳法》片段教学设计

双牌二中

廖建红

一、【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2（人教A版）》第二章第三节《2.3数学归纳法》。在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。

二、【学情分析】

学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从“骨牌游戏原理”启发得到“数学方法”的过程有困难；二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。

三、【教学目标】

（1）知识与技能目标：

①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；

②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。

（2）过程与方法目标：

努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。

（3）情感态度与价值观目标：

通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。

四、【教学重难点】

教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤；

教学难点：数学归纳法中递推关系的应用。

五、【教学方法与工具】

教法指导：本节课采用的教学方法是“启、思、演、练、结”五字教学法，即：以具体的例子引入课题，启发学生想去了解归纳法；通过提出问题、创设情景，引导学生积极思考；借助电脑的动画演示，提高直观性与趣味性，延长学生有意注意的时间。

学法指导：（1）学习要求：①课前预习教材中有关内容；②听课时积极思考大胆质疑；③课后及时完成课外作业。（2）指导措施：通过设置问题情景，激发学生大胆思考；由具体的事例吸引学生注意，通过直观模型演示，化抽象为具体，突破教学难点。

教学手段：多媒体辅助课堂教学。

六、【教学过程】

一、创设问题情境，启动学生思维

1、史料情境[费马猜想F221(nN)]

形如

n



0

、

的数都是质数. 1、2、3、4，(1)猜想起因：

F3、5、17、257、65537，n

(2)

合情推理：不完全归纳法

F542949672976700417641(3)推翻猜想：半个世纪后，欧拉发现了

不是质数

nn

(4)思考方法：不完全归纳法得出的结论未必可靠，需另寻方法.

2、游戏情境：(多米诺骨牌游戏) (1)动画演示：多米诺骨牌动画演示

(2)现象分析：

1块倒下，碰倒第2块，再碰倒第3块，以此类推，骨牌相继全部倒下；

2块倒下，碰倒第3块，再碰倒第4块，以此类推，除第一块骨牌外，其余骨牌相继全部倒下.

1块倒下，碰倒第2块，再碰倒第3块，但中间抽走部分骨牌，以致不能连续碰倒，造成后面骨牌不再倒下. (3)提出问题：骨牌全倒下应满足什么条件？

(4)提示点拨：

1. 3、数学情境：

已知数列已知a11,an1an中，由此猜想数列的通项公式为an1an1an(nN*),发现a11111，a4，a2，a3，4123n问题1：这个结论可靠吗？怎样才能说明其正确性？

问题2：多米诺骨牌与该数学问题有什么共同点？

共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情况. 问题3：借鉴前面情境，如何通过有限步骤的推理来证明各项

都成立？

二、立足生活，点燃思维的火花

（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境3的问题。）

①第一块骨牌必须要倒下②任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则后一块也倒下

1①当n1时，猜想成立②任意相邻的两项，假设nk时，猜想成立，即ak(kN*),则当k1a1nk1时ak1kk(kN*)

1k11ak1k即当nk1时猜想成立

n1由此，当

从1到2，从2到3，从3到4，

从K到K+1直至无穷，an(nN*)n

均成立，故猜想成立.

三、师生合作，形成概念。

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可以按照以下步骤进行：

(nN*). ，（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0N*）时命题成立；

（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，证明当nk1时

命题也成立。

完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

上述这种证明方法叫做数学归纳法。

这是一种简单、有效、科学的证明方法，实现了完全归纳的目的

四、回顾总结，反思提高

(1) 数学知识：数学归纳法——两个步骤一个结论；

(2) 数学方法：数学归纳法（证明某些与正整数有关的命题）；

(3) 数学思想：归纳思想、递推思想。