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关键词：三反证法与放缩法教学实录及点评

正文

反证法教学设计

教学目标：

1、通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

2．感受在什么情况下，需要用反证法证明不等式。

教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。

教学难点：会用反证法证明简单的命题。

教学过程: 一、引入：

前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

二、典型例题：

例1、已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:1y1x与中至少有一个小于2. xy思路分析：由于题目的结论是:两个数中“至少有一个小于2”情况比较复杂,会出现异向不等式组成的不等式组,一一证明十分繁杂,而对结论的否定是两个“都大于或等于2”构成的同向不等式,结构简单,为推出矛盾提供了方便,故采用反证法. 证明:假设1x1y≥2,≥2.

∵x>0,y>0,则1+y≥2x,1+x≥2y.

两式相加,得2+x+y≥2(x+y),∴x+y≤2.

这与已知x+y>2矛盾. ∴1x1y与中至少有一个小于2成立. xy例2、已知a≠0，求证关于x的方程ax=b有且只有一个根。

注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。

议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？

课堂练习：

[练习1]已知f(x)是R上的单调递增函数，f(a)＋f(－b) ＜

f(－a)＋f(b)．求证：a＜b.

[练习2]

已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，求证：y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．

课时小结：

1、利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步

分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步

作出与所证不等式相反的假定；

第三步

从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；、

2、在证明中含有

“否定性、存在性词语，或者直接证明困难时，可使用反证法证明．

3、在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾．

资料摘要

三反证法与放缩法教学实录及点评