二 综合法与分析法优质教案设计

证明不等式的基本方法二：综合法与分析法（教学设计）

泾川县第一中学 陈芳

一、教材分析

通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。

二、学情分析

第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问题，回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，本讲内容也是本专题的一个基础内容。

三、教学目标

1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。

2.了解分析法和综合法的思考过程。

四、教学重点、难点

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。

教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。

五、教学方法 自主探究、合作学习、讲练结合

六、教学过程

1.新课引入

综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。

所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因

成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。

2.典例分析

例1. 已知a,b,c0，且不全相等。求证：

a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

点评：本题先让学生采用比较法证明不等式，其目的一是让学生回忆比较法证明不等式的方法及步骤；二是加强学生运算能力及化简变形等基本能力的培养。之后在讲述综合法证明不等式，通过两种方法的比较，引导学生在以后解题中恰当的选择证题方法。

例2. 求证2736分析：本题很难从已知条件或不等式的性质或已知的不等式出发，推导出要证的不等式，由此只能从要证的由结果出发，倒过来寻找结论成立的充分条件，直至条件成为明显的或者在已知中。

议一议：根据上面的例证，1.你能指出综合法和分析法的主要特点及各自的适合范围吗？

a2b2b2c2a2c2abc

例3. 已知a,b,c0,求证abc点评：综合法和分析法这两种思维模式经常交替出现在思维过程中，往往用分析法寻求解题方法，用综合法书写解题过程。

3.课堂小结：

解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。

4.课堂练习：

1. 已知x0,求证：x12.

x2. 已知ab0,求证abab.

5.课后作业：

课本25页第1、2、3、4题。

七、课后反思

八、板书设计

综合法与分析法

1.综合法

例3

2.分析法

例1

例2