探究与发现组合数的两个性质优秀教学实录｜教案在线预览

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资料摘要

组合数的两个性质教学设计教学目标：熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题。教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。教学难点：利用组合数性质进行一些证明。教学过程：一、复习回顾：1．复习排列、组合的相关概念公式特别要强调：排列——次序性；组合——无序性．2

资料类型：教学教案文档

所属课文：探究与发现组合数的两个性质

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2026-02-23 02:47:36

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学校：丘北县第二中学校

探究与发现组合数的两个性质优秀教学实录

未知

2026-02-23 02:47:36

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关键词：探究与发现组合�…优秀教学实录

正文

组合数的两个性质教学设计

教学目标：熟练掌握组合数的计算公式；

掌握组合数的两个性质，

并且能够运用它解决一些简单的应用问题。

教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。

教学难点：利用组合数性质进行一些证明。

教学过程：

一、复习回顾：

1．复习排列、组合的相关概念公式

特别要强调：排列——次序性；组合——无序性．

2．练习

1、求证：Cnmnm1Cn1．

m45373232、计算：①

C10和C10；

②

C7与C6；③

C11C11

C6

二、新授内容：

mnm1．组合数的

性质1：C

nCn．

理解：

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n



m个元素．因

为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n



m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这．．．．mnmn个元素中取出n



m个元素的组合数，即：Cn．在这里，“取法”与Cn“剩法”是“一一对应”．

nm证明：∵Cnn!n!

(nm)![n(nm)]!m!(nm)!mnmn!

∴CnCn

m!(nm)!m

又

Cn0注：1

我们规定

Cn1

2

等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．

20012002200113

化简．例如：C2002＝C2002＝C2002=2002．

4

CnCnyxy或xyn

2．例4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

⑴

从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

⑵

从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

⑶

从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

323解：⑴

C856

⑵

C721

⑶

C735

323

引导学生发现：C8．为什么呢？

C7C7

我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．

一般地，从a1,a2,,an1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn这1，些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从m1共有Cn个；不含有a1的a2,a3,,an1这n个元素中取出m 1个元素与a1组成的，m组合是从a2,a3,,an1这n个元素中取出m个元素组成的，共有Cn个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里体现了“含与不含其元素”的分类思想．

mmm1

n3．组合数的

性质2：C．

1＝Cn+Cnmm1

证明：

CnCnn!n!

m!(nm)!(m1)![n(m1)]!

n!(nm1)n!m

m!(nm1)!

(nm1m)n!

m!(nm1)!

(n1)!

m!(nm1)!m

Cn1

mmm1

∴

Cn．

1＝Cn+Cn

注：1

公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．

2

证明时的恒等变形，简化运算．

4．随堂练习

3456⑴

计算：C7

C7C8C9nnn1n2⑵

求证：Cm2＝Cm+2Cm+Cm

012345⑶计算：C4C4C4C4C4和C5

C5C5C5C5C501234

5．组合数性质的简单应用：

证明下列等式成立：

kkkkkk1

⑴

Cn1Cn2Cn3Ck1CkCn

三、作业

四、小结：1．组合数的两个性质；

2．从特殊到一般的归纳思想

关于本教案的常见问题

Q：探究与发现组合数的两个性质优秀教学实录是什么类型的资料？

A：这是一份教学教案文档，可用于备课、课堂讲解与课后复习，支持在线预览正文内容。

Q：这份教案对应哪篇课文？

A：对应课文《探究与发现组合数的两个性质》，可从面包屑进入课文目录查看同课其他资料。

Q：如何找到配套课件？

A：页面提供「配套课件/同课文课件」入口；也可进入课文详情页同时查看教案与课件列表。

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