1.2.2 空间中的平行关系教学实录与评析

2.2.1

直线与平面平行的判定

（第一课时）

【教学过程】

（一）

复习回顾

面向全体同学提出问题

师：根据公共点的情况，空间中直线和平面有哪几种位置关系，（笔当直线，书当平面）

生：有面内、相交、平行（多媒体幻灯片展示了空间直线与平面的三种位置关系的三种语言表示．同时强调：我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为a）．

师：其中，平行是一种很重要的位置关系。本节课我们将研究这一位置关系．

设计意图：教学预设以生本教育观为指导，充分尊重学生的学习主体地位．从建构主义理论来看，学生原有认知结构是新授课的基础．本节课学生已有的知识储备是直线与平面平行的定义．教学预设从数学学科内部发展的顺序来说明本节课学习任务的确定，从数学学科内部发展的需要来引起认知冲突并说明本课学习的必要性，逻辑性强，利于知识系统的主动建构．

（二）列举实例

面向全体同学提问

师：在日常生活中，哪些实例给我们以直线与平面平行的印象呢？

（师生充分交流，学生容易指出教室的日光灯与地面平行、黑板的边缘与地面平行、足球场上球门的横梁与足球场平行等等．）

设计意图：使学生有充分的具体情境下的认知体验，为后续内容做好铺垫，引导学生学自己身边的数学，学有用的数学．通过充分的直观感知，努力促进学生空间观念的构建．

列举身边的实例后，面向全体同学抛出问题1：单凭感觉判断直线与平面平行，可靠吗？

（让学生单凭直观感觉，判断直线a与平面α是否平行）

进而给出问题2：该怎样判定直线与平面平行呢？

a 生：可以根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判

定直线与平面平行。

师：但是，直线是无限延伸的，平面是无限延展的，要说明它们没有公共点，你认为方便吗？（谈谈你的看法．带领同学体α

会本节课学习的必要性，引出课题．）

设计意图：问题1是为了设置一个有争议的情境，眼见不一定为实，进而调动学生的探究欲望．问题2是为下面动手操作、合作探究，发现判定定理作了一个引子，埋了一个伏笔．

（三）抽象概括

（从同学们列举的日光灯的实例出发，学生容易发现如果将日光灯平稳下降，最终日光．．灯管会平稳地落到地面内来，通过多媒体动态演示这一过程．）

．．师：将原来日光灯所在直线记作a，平移到地面（记作平面α）内之后记作直线b，同学们可以发现a//b（强调直线a，b没有公共点）．在平面α内平移b，得到直线c，不难

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发现a//c（强调直线a，c没有公共点）．紧接着，提出问题，

师：直线a能与平面α内的无数条直线都平行吗？（能）

教师追问，直线a与平面α内的这无数条直线有公共点吗？（没有）

教师继续追问：直线a与平面α没有公共点意味着什么？（a//α）

教师充分肯定同学们的发现后，揭示数学本质：平面α内的任

一点均在直线a的某条平行线上，于是，直线a与平面α没有公共点，即a//α．

之后，教师追问：“需要平面外的直线a与平面α内的无数条直线都平行吗？”（不需要！）追问：“几条就可以了？”（一条！）

“为什么？”（平面内的无数条直线都可以通过平面内的一条直线平移得到）

教师此时可抓住时机，面向全体同学发问：大家能得到空间直线与平面平行的一个判定方法吗？

定理（直线和平面平行的判定定理）平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和此平面平行．

（四）实验确认

接下来，教师引导学生通过动手实验操作，进一步确认定理

的正确性．

师：

请全体同学将课本按如图所示的方式直立地放在桌面上，并借助多媒体动画演示，引导学生探究思考书页的边缘所在直线与桌面、与另一张书页所在平面的位置关系，进一步巩固对定理的理解．

然后，请同学们考虑该定理用符号语言应当怎样表述？并请一位同学上黑板板演，教师及时纠正．

a

b符号语言：a//

图形语言：

a//b



师：该定理前提条件的三个关键词：“平面外”、“平面内”、“平行”能省去其中一个吗？

证明：（反证法）假设直线a不平行于平面，又a，则设a=P

过点P作直线c，使得b//c，因为a//b，所以a//c，又

Pa,Pc,所以acP这与a//c矛盾，故假设不成立，则a//。

最后，教师引导学生指出此处渗透的处理立体几何问题的基本思想：将空间问题降维转化为平面问题解决（线线平行线面平行）．

设计意图：定理的发现与论证过程采用了“观察模型—直观感知—理性分析—抽象概括—操作确认—思考探究”的方式展开．新课程教材中回避了定理的理论证明，但考虑到数学的理性精神及良好的学情状况，在定理的生成过程中仍然强调了“说理”．在教师的引导下，经过推理，定理生成．考虑到学生主体未能直接动手操作，印象未必深刻．为此，设计了两个学生活动，让他们在动手操作中体会定理的正确性，给他们充分的思考时间与空间，让他们主动建构新知．

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定理生成后，①教师强调三种数学语言的转化，利用判定定理反观线面平行的图形表示的合理性，并通过直观演示，防止学生出现思维定势；②教师及时给出关于直线与平面平行的两个假命题，继续从反面强调定理成立的三个要素缺一不可．以上的教学预设与生成都是从学生的最近发展区设计问题，帮助学生主动辨明定理的实质，教师在其中板演的角色仍然是一个组织者和引导者，学习的主体是学生．

（五）形成技能

（多媒体幻灯片演示）

例1、如图1，已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，判断并证明

EF与平面BCD的位置关系．

图2 图1

变式1、如图2，将△ABD改为梯形BDHG，E、F分别是BG、DH的中点，判断并证明

EF与平面BCD的位置关系．

例2、如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E,F分别是PA,BD上的点且①PE:EABF：FD=1:1，求证：EF//面PBC. P②PE:EABF：FD，求证：EF//面PBC

ED

FA

B

例3、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1上的点，试确定

点E的具体位置使AC1//平面BDE．

全班同学尝试解答的同时，请一位同学上黑板解答，教师及时规范学生的答题，适时点评．师生共同总结出运用定理的关键是找线（平面内）线（平面外）平行．

师：面向全体同学提问，初中平面几何中，我们学习了哪些判定直线与直线平行的方法？

（利用三角形的中位线、梯形的中位线、平行四边形的对边、平行线分线段成比例定理

的C

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逆定理、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补……

问题提出后，给学生足够的时间思考讨论，学生取BB1的中点，C1D1的中点得到画法应该不困难．难点是其它可能的情形．这里，到底讲到什么程度，也应当视学情而定，尊重课堂教学的生成．为使更多的同学有一个直观的体验，将借助几何动画将正方体运动起来，变换观察的角度，让他们有一个直观的体验．

设计意图：“想一想”的设置是为了进一步从反例出发促使学生对判定定理的准确理解．“证一证”是为了让学生通过动手尝试证明问题，掌握运用定理解决问题的一般方法，并进一步从实践操作层面体会运用定理需满足的三个要点缺一不可，学生经历了解题过程后主动发现运用定理的关键是找平行线．“操作思考”更是借助一题多解关注不同层次的同学的不同发展需求，让不同的同学获得不同发展．

练习：1、判断下列命题的真假并说明理由：

①若一条直线不在平面内，则该直线与此平面平行（

）

②若一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与此平

面平行（

）

③a是平面α内的一条给定的直线，若平面α外的直

线b不平行于直线a，则直线b与平面α就不平行（

）

2、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是AA1,DD1的中点，P

是棱A1B1的中点，过点

P

画一条直线使之与截面MBCN平行，并说明理由。

（六）总结提高

先由学生口头总结，然后教师归纳总结：

（多媒体幻灯片展示）

一、直线与平面平行的判定定理；

二、证明直线与平面平行的方法；

三、运用判定定理时的几个要点；

四、运用定理的关键：找平行线；

五、立体几何的基本思想：化归．

（七）分层作业

附：板书设计

平行关系的判定

多媒体投影区域

直线与平面平行的判定

想一想

证一证

操作思考

小结

作业

D1A1MC1NDPB1CBA反思与改进

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