探究与发现 组合数的两个性质教学设计案例

1.2.2 组合的两个性质

知识与技能

了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些计数问题抽象为组合问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题．

过程与方法

通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解的过程．

情感、态度与价值观

能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．

重点难点

教学重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题．

教学难点：利用组合数公式和性质求解相关计数问题．

教学过程

引入新课

一、实例分析：

从10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素，就是说，从10个元素中每次取出7个元素的一个组合，与剩下的(10-7)个元素的组合是一一对应的。因此，从10个元素中取7个元素的组合，与从这10个元素中取出(10-7)个元素的组合是相等的．

73103即C10C10C10

提出问题2：由问题1练习中所求的组合数，你有没有发现一些规律，能不能总结并证明一下？

活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充．

活动成果：

n－m1．性质：(1)Cmn＝Cn

①用计数原理解释

从n个元素中取出m个元素后，还剩下n-m个元素，就是说，从n个元素中每次取出m个元素的一个组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的。因此，从n个元素中取m个元素的组合，与从这n个元素中取出(n-m)个元素的组合是相等的．

n－m所以Cmn＝Cn

n！n！②公式证明：∵C＝＝，

(n－m)！[n－(n－m)]！m！(n－m)！n－mnn！n－m又C＝，∴Cmn＝Cn. m！(n－m)！mn二、实例分析

一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

①从口袋里取出3个球，共有多少种取法？C83

②从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？C72

③从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？C7

问题1：从中可以发现怎样的一个结论：C83=C73+C72

问题２：对上面的发现(等式)作怎样解释？

抽象概括

3

m一般地，从a1,a2,，an1这n1个不同的元素中取出m个元素的组合数是Cn1（1）这些组合可分成两类：一类含a1，一类不含a1

含有a1的组合是从a2,a3,，an1这n个元素中取出m1个元素与a1组成的，m1共有Cn个m不含a1的组合是从a2,a3,，an1这n个元素中取出m个元素组成的，共有Cn个mm－1由分类计数原理可得Cmn＋1＝Cn＋Cn. (2)公式证明：C＋Cmnm－1nn！n！＝＋＝m！(n－m)！(m－1)！[n－(m－1)]！n！(n－m＋1)＋n！m

m！(n－m＋1)！(n－m＋1＋m)n！(n＋1)！m＝＝＝Cn＋1，

m！(n－m＋1)！m！(n－m＋1)！mmm－1∴Cn. ＋1＝Cn＋Cn设计意图：引导学生自己推导出组合数的两个性质．

运用新知

222例1(1)求和：C22＋C3＋C4＋…＋C100. 02m－1m－1(2)证明：Cn＋C1n＋1＋Cn＋2＋…＋Cn＋m－1＝Cn＋m. 02398（1）原式＝C3＋C13＋C4＋C5＋…＋C100

1398＝C4＋C24＋C5＋…＋C100

29898＝C5＋C35＋…＋C100＝…＝C101

3＝C101＝166 650. 12m－1(2)左式＝C0n＋1＋Cn＋1＋Cn＋2＋…＋Cn＋m－1

12m－1＝Cn＋2＋Cn＋2＋…＋Cn＋m－1

－2m－1＝Cmn＋m－1＋Cn＋m－1

－1＝Cmn＋m＝右式．

456例2.(1)计算：C37＋C7＋C8＋C9；

nn－1n－2(2)求证：Cnm＋2＝Cm＋2Cm＋Cm. 565664(1)解：原式＝C48＋C8＋C9＝C9＋C9＝C10＝C10＝210；

n－1n－1n－2nn－1n(2)证明：右边＝(Cnm＋Cm)＋(Cm＋Cm)＝Cm＋1＋Cm＋1＝Cm＋2＝左边．

达标检测

23321．计算：(1)C399＋C99；(2)2C8－C9＋C8. 2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为________．

3．从7人中选出3人参加活动，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有______种．

【答案】1.(1)161 700 (2)56 2.9 3.30

课堂小结

1．知识收获：组合数的性质，用组合数公式解决简单的计数问题．

2．方法收获：化归的思想方法．

3．思维收获：化归的思想方法．

作业布置：课后习题

板书设计

拓展练习

现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)，现在要从中挑选

5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？

解：我们可以分为三类：

2①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C24C3；

1②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C34C3；

2③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C34C3. 23132所以一共有C24C3＋C4C3＋C4C3＝42种方法．

设计说明

本节课是组合的第二课时，本节课的主要目标有两个，一个是学生在教师的问题驱动下自主探究组合数的性质，并在老师的带领下，体会组合数公式的应用；另一个是体会把具体计数问题化归为组合问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．