探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最大教学设计第一课时

探究与发现

服从二项分布的随机变量取何值时概率最大－－教学设计

一、教学内容分析：

本节内容涉及服从二项分布的离散型随机变量的概率模型，是对二项分布的有关问题的进一步研究，主要是通过例题来探究服从二项分布的随机变量取何值时概率最大的问题，与二项分布及组合数公式联系比较紧密，探究过程的教学难度和运算量较大，学生比较难理解和掌握。

二、学生学情分析：

学生在前面已经学习了二项分布及组合数公式的相关内容，对所学知识基本能理解和掌握，思维活跃、求知欲强。但学生的运算能力、逻辑思维能力、小组探讨中与人合作的能力都明显不足。

三、教学目标：

1.

进一步掌握二项分布模型及其应用. 2.

探究服从二项分布的随机变量取何值时概率最大的问题并总结出相应的结论，能利用结论来解决相关问题. 3.

了解二项分布是应用最广泛的离散型随机变量概率模型以及探究与二项分布有关的一些问题的意义. 4.

让学生在探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣.

四、教学重点、难点

重点：探究服从二项分布的随机变量取何值时概率最大的问题并总结出相应的结论，能利用结论来解决相关问题. 难点：探究服从二项分布的随机变量取何值时概率最大的问题并总结出相应的结论，能利用结论来解决相关问题. 五、教学方法：

1.利用导学案，有利于学生对知识进行主动建构，突出重点，突破难点，调动学生的主动性和积极性．

2.分组合作探究，有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性．

3.讲练结合法，可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点．

六、教学过程设计：

1

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n!k(nk)!k!Cn

k1n!Cn

(

n



k



1

)!

(

k



1

)!

1.课前知识预备：

nk1kC

C

knk1n

n!(nk)!k!n!(nk1)!(k1)!k1nk2.完成下列例题：某射手每次射击击中的概率为0.8，每次射击的结果相互独立，那么

他在10次射击中，最有可能击中几次目标？

解：设他在10次射击中，击中目标的次数为X由于射击中每次射击的结果是相互独立的，因此X~B(10,0.8).于是恰好k次击中目标的概率为

P(Xk)C100.8k0.210k,k0,1,2,,10.

kP(Xk)1P(Xk)P(Xk1)P(Xk1)令

即



P(Xk)P(Xk)P(Xk1)1P(Xk1)k0.8k0.210kC10(11k)0.8k11k111k1C100.80.2k8.8k0.2

k(k1)0.2k10kk7.8C100.80.21k10.8k10.29k1(10k)0.8C10

即7.8k8.8

∴他在10次射击中，最有可能

8 次击中目标. （学生小组合作探究完成虚线框里的内容，并口头回答下列问题。）

试从下面几个方向说一说你对这个例题的理解：

（1）例题要解决什么问题？

（2）例题求P(Xk)P(Xk1)的作用是什么？回忆一下以前用过类似的方法吗？

P(Xk)P(Xk1)

2

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（设置意图：从实例引入，给出二项分布的现实背景，给出相应的提示，目的是让学生通过小组合作，初步尝试探究、分析问题，进而解决问题。而两个口头回答的问题的设置是为了让学生思考例题所用的解决问题的方法的实质是什么。）

（设置意图：利用excel制作二项分布散点图，数形结合，既能检验所求是否正确，也能加深学生的理解和印象。）

3.小组合作探究，完成下列习题：

k的取值.

如果X~B(20,)，求使P(Xk)取最大值时解：由题意可得，P(Xk)131k220k()(),k0,1,2,,20.

C2033kP(Xk)1P(Xk)P(Xk1)P(Xk1)令

即



P(Xk)P(Xk)P(Xk1)1P(Xk1)

3

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11k220kk(21k)()()C2033131k11212k2C20()k1()21kk333

3



1218k(k1)2C20()k()20kk333311k11k1219k1()()(20k)33C2031821k

即6k7

33当n6或n7时，P（Xk）取最大值.

（设置意图：通过前面的例题，学生对服从二项分布的随机变量取何值时概率最大的问题有了初步的了解，习题的设置是让学生通过小组合作，进一步尝试探究、分析问题，解决问题，并与例题进行比较，进一步掌握解决这种问题的方法。）

（设置意图：利用excel制作二项分布散点图，数形结合，既能检验所求是否正确，也能加深学生的理解和印象。）

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4.小组合作探究，完成下列问题：

P(Xk)的变化情况，k

如果X~B(n,p)，其中0p1,那么当k由0增大到n时，取何值时，P(Xk)最大？

解：由题意可得，P(Xk)Ckknkp(1p),k0,1,2,,n.

nP(Xk)1P(Xk)P(Xk1)P(Xk1)令

即



P(Xk)P(Xk)P(Xk1)1P(Xk1)kpk(1p)nkCn(nk1)pk1k111nk1Cnp(1p)k(n1)pk(1p)

(k1)(1p)kknkk(n1)p1Cnp(1p)1k1pk1(1p)nk11(nk)pCn

即(n1)p1k(n1)p

若(n1)p为正整数，则当k(n1)p或(n1)p1时，P（Xk）取得最大值.若(n1)p不为正整数，则k[(n1)p]时，P（Xk）取得最大值注：[X]取不超过X的整数.

（设置意图：通过对前面的例题及习题的探究与学习，让学生继续分组探究一般情形下k取何值时，P(Xk)最大的问题，体会由特殊到一般的过程，并引导学生归纳出相应的结论。）

5.小组合作探究，利用你的结论，完成下列巩固练习：

将一枚骰子任意地抛掷500次，问1点出现多少次的概率最大？

解：设抛掷500次出现1点的次数为X，则X~B(500,

假设Xk时，P(Xk)取最大值，则

1)

6(5001)11495501

1k(5001)k6666∴1点出现83次的概率最大. 一小组有25个人，问生日在5月的最大可能是几个人？

解：设25个人生日在5月份的人数为X，则X~B(25,1)

12

5

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假设Xk时，P(Xk)取最大值，则

(251)111426

1k(251)k12121212∴生日在5月的最大可能是2人. （设置意图：让学生利用总结出的结论完成习题，体会理论与实践相结合，激发学生探究、学习的积极性。）

七、学习小结：与小组成员分享，谈谈你的收获？

（设置意图：让学生分组交流、讨论、分享，激发学生继续探究、学习的积极性。）

八、课后作业：

1.某人篮球投篮的命中率是0.4，问连续10次独立的投篮中，最有可能命中多少次？若是9次投篮呢？

解：设命中的次数为X，则X~B(10,0.4)

假设Xk时，P(Xk)取最大值，则

(101)0.41k(101)0.43.4k4.4

∴最有可能命中4次. 2.设每发子弹打中飞机的概率为0.01，问500发子弹击中飞机最可能次数为多少？

解：设子弹击中飞机的次数为X，则X~B(500,0.01)

假设Xk时，P(Xk)取最大值，则

(5001)0.011k(5001)0.014.01k5.01

∴子弹击中飞机最可能次数为5次. （设置意图：让学生课后通过习题巩固课堂所学知识。）

九、课后延伸阅读：

泊松分布

泊松分布（Poisson distribution）（法语：loi de Poisson，

英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、

卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏

分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布

（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19

世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。

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这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。

分布特点

泊松分布的概率函数为：

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

泊松分布的期望和方差均为

λ

特征函数为

泊松分布与二项分布

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。

事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的。

在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性。）

应用示例

泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。

观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P（x）可用下式表示：

例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×10核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式：

……

是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量，因此

就意味着全部死亡的概率。

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泊松分布是最重要的离散分布之一，它多出现在当X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。在一定时间内某交通路口所发生的事故个数，是一个典型的例子。

（设置意图：让学生通过阅读，开拓学生的视野，鼓励学生继续利用信息技术去探索相关的问题。）

十、板书设计： 探究发现：服从二项分布的随机变量取何值时概率最大

(n1)p1k(n1)p

若(n1)p为正整数，则当k(n1)p或(n1)p1时，P（Xk）取得最大值.若(n1)p不为正整数，则k[(n1)p]时，P（Xk）取得最大值注：[X]取不超过X的整数.十一、课后反思：

优点：1.通过两个实例引导学生分组探究、思考问题，再通过对一般情形进行分组探究、思考，总结出相应的结论，并配以相应的习题，让学生利用结论来解决问题，体现了由特殊到一般、理论联系实际的学习过程，重点培养学生的分组合作交流、探究、分析问题的能力。

2.基本以学生为主体，教师以引导为主。

缺点：1.由于对学生的分组合作交流、探究、分析的能力估计不足，导致前面对实例的分组探究用的时间偏多，造成后续教学紧张。

2.语言组织方面不够流畅，有待提高。

学生演示解题过程

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