一 数学归纳法教学设计方案

选修4-5 数学归纳法

平顶山市第一高级中学 景路明

一、

教材分析

“数学归纳法”既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。它贯通了高中代数的几大知识点：不等式，数列，三角函数……在教学过程中，教师应着力解决的内容是：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤（特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）。只有真正了解了数学归纳法的实质，掌握了证题步骤，学生才能信之不疑，才能用它灵活证明相关问题。本节课是数学归纳法的第一节课，有两大难点：使学生理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中归纳假设的利用。不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。这会对以后的学习造成极大的阻碍。根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“引导发现法”和“讲练结合法”。通过课件的动画模拟展示，引发和开启学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深层实质。

二

、教学目标

1、知识和技能目标

(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）

(2)了解数学归纳法的原理及使用范围。

(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。

2、过程与方法目标

通过对归纳法的复习，说明不完全归纳法的弊端，通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

3.情感态度价值观目标

通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学

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习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。

三

、教学重难点

重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质

。

（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用。 难点：数学归纳法的原理；

四、

教学方法：讲授法、引导发现法、类比探究法、多媒体辅助教学

五

、教学过程

1、提出问题

课本上直接给出了下面两个结论：

122232Ln2132333Ln31n(n1)(2n1)(nN*).612n(n1)24(nN*).

如何证明这些与正整数n有关的数学命题？

提出课题数学归纳法，并介绍数学归纳法的创始人意大利数学家、物理学家：莫罗利科（1494-1575）

2、创设情境

问题1：口袋中有5个吃的东西，如何证明它们都是糖？

（完全归纳法：把研究对象一一都考查到，而推出结论的归纳法。）

an,若a11,an1问题2：对于数列an.1an

（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？

（2）你的猜想一定是正确的吗？

2

通过学生计算，引导学生猜测：an1n(nN*)

（不完全归纳法：从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法）

3.问题情境，引发思考：

由不完全归纳法得到的结论一定正确吗？

（以著名的费马猜想为例进行分析）

费马观察到：22222202122232413151171257165537

......n法国数学家：费马

猜想：Fn221(nN)

5(1601年～1665年)

2瑞士数学家欧拉计算2142949672976700417641，否定了费马猜想！

提出问题：如何通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？

4、师生合作，探究新知：

师生共同观察多米诺骨牌游戏

探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？

条件一：第一张骨牌倒下；

条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。

注：此问题由学生合作交流完成，必要时，教师重新播发视频或给予提示。

探究二：第一块骨牌不倒行不行？

3

（第一块骨牌必须倒，才能让所有的骨牌倒下。第一块骨牌倒下是后面骨牌倒下的大前提）

探究三：假如从第二块、第三块骨牌开始将骨牌推倒，结果会是怎样？（如果从第二块或第三块开始倒，则只能让该块骨牌后面的全部倒下。）

注：此问题说明第一块骨牌倒下对全部骨牌倒下的重要性，同时也说明在证明与正整数有关问题时，n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可以取其它正整数。

师：多米诺骨牌问题实际上和证明一些与正整数有关的问题的思想方法是类似的，回想课堂开始的问题，我们可以利用多米诺骨牌的原理来解决这个与正数多米诺骨牌游戏原理

证明数列的通项公式是（1）第一块骨牌倒下

（2）若第an1n的步骤

（1）当n=1时猜想成立

（k1，kZ）k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下

a（k1，kZ）（2）若当n=k时猜想成立，即猜想也成立，即k1k，则当n=k+1时ak11k1

事实上,如果akak1

1,那么,k1ak1k1akk111k

根据（1）和

（2），可知不论有多少块骨牌都能全部倒下

根据（1）和（2），可知对所有的自然数n，猜想都成立。

有关的问题：

5、归纳定理

数学归纳法的原理

一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0∈N* ）

时命题成立；

( 2 )（归纳递推

）假设n = k ( k ≥

n0

，k ∈

N* ) 时命题成立，

证明当4 n=k+1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数都成立。

上述证明方法叫做数学归纳法。用框图表示为：

若n = k ( k ≥

1 ) 时命题成

验证n=n0时命题成立。

立，

证明当n=k+1时命题也成立。

归纳基础

归纳推理

命题对从n0开始的所有自然数n都成立。

注：两个步骤,一个结论,缺一不可

6、解决问题：

（用数学归纳法解决刚开始提出的同学们解决不了的问题）

n(n1)(2n1)(nN*)

61(11)(211)1，师：（板书）证明：（1）当n1时，左边121，右边6例1：用数学归纳法证明122232…+n2等式成立；

（2）假设当当nk(k1,kN*)时，等式成立，即：

122232…+k2k(k1)(2k1)，那么：

6122232…+k2(k1)2k(k1)(2k1)(k1)26

(k1)(2k27k6)6(k1)(k2)(2k3)6(k1)[(k1)1][2(k1)1]6

5

即：当nk1时，等式成立。

根据（1）和（2），可知等式对任何nN*都成立。

注：上例又学生和老师共同完成，老师板书写下完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步骤。

7、课堂练习

例1证明：n35n(nN)能被6整除.

证明：（略）

21352n1n1用数学归纳法证明步骤如下：

问题1：甲同学猜想2证明：假设n=k时等式成立，即135(2k3)(2k1)k1

22k1(2k1)(k1)1

135(2k1)(2k1)那么nN即n=k+1时等式成立.所以等式对一切自然数均成立. 上述证法是正确的吗？为什么？

上述证明是错误的,事实上命题135(2n3)(2n1)n21

本身是错误的当n=1时,左边=1,右边=0，左边≠右边

结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无. 21352n1n问题2：乙同学用数学归纳法证明如采用下面证法，对吗？为什么？

证明：（1）当n1时,左边1右边.（2）假设当nk时，等式成立，即132k1k2.

2上述证明没有用到n=k命题成立这一归纳假设正解：135(2k1)(2k1)k2(2k1)k1

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根据(1)和（2），可知等式对任何nN都成立.

结论2：在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.

8、归纳总结

1、数学归纳法的一般步骤

2、数学归纳法是一种完全归纳法

，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。

两个步骤一结论，

递推基础不可少，

归纳假设要用到，

结论写明莫忘掉。

六、作业 : 1.求证：1+2+3+…+n=1n(n+1) 2 2.求证： 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝

七、板书设计：利用多媒体和黑板合理搭配

学习完本节之后，联系数列这一章，我有感于数列与函数之间纠缠不休的关系，有感而发，写了一首不知能否称为诗的东西，无他，只为博同仁一笑。

致函数

------数列

喜欢你定义域的连续

惊讶你负数也能驾驭

我却只能在一四象限

点燃正无穷大的爱恋

用数学归纳法的神奇

垂涎你那诱人的魅力

无数次刻意的相遇

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浪漫了平面直角坐标系

我在等差里注满对你的情意

又从等比中凝聚无尽的思念

我们约会在美丽的自然数集

一起单调，一起周期------

不连续真的没什么大不了的

爱在第一天已经美满

假设爱在第K天时依然美满

我们只需让第K天的后面一天也美满

爱就终生美满

那就永远爱多一天

爱就这么简单

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