2.2.1 综合法和分析法课件配套优秀公开课教案设计

§2．2.1 综合法与分析法

【使用说明及学法指导】

1.完成课前预习的相关问题；

2.尝试完成课内探究中部分，注意书写规范；

3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂讨论质疑。

【学习目标】

1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法(重点)．

2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题(重点、难点)．

【预习案】

1．综合法

(1)定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法．

(2)框图表示：用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q

温馨提示

运用综合法证明问题的关键是正确运用相关的定义、定理、公理和已知条件．

2．分析法

(1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件．(2)思维过程．

用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：

Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件

温馨提示

运用分析法证明问题，要注意书写的格式．

尝试练习：

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)综合法是执果索因的逆推证法．(

) (2)分析法是从结果推到已知．(

) (3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．(

) (4)分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．(

) 2．欲证2－3<6－7，只需证明(

) A．(2－3)<(6－7) B．(2－6)<(3－7)

C．(2＋7)<(6＋3) D．(2－3－6)<(－7)

2222 2222

3．在△ABC中，tan A·tan B＞1，则△ABC是(

) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

4．已知x∈R，a＝x2＋1，b＝x，则a，b的大小关系是________________．

5．已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是____________．

【探究案】

合作探究1（综合法的应用）

[典例1]

a2b2c2设a，b，c>0，证明：＋＋≥a＋b＋c. bca

归纳升华

利用综合法证明问题的步骤

(1)分析条件，选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法；

(2)转化条件，组织过程：把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑、简洁的语言、清晰的思路；

(3)适当调整，回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．

11【变式训练1】

已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4. ab

合作探究2（分析法的应用）

[典例2]

归纳升华

用分析法证明不等式时应注意：

(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；

(2)分析法证明不等式的思路是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．

11【变式训练2】已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.ab

设a，b为实数，求证：

a2＋b2≥2(a＋b)．2

深层探究

1、设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋2)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，

求证：f(x＋1)为偶函数．

【课堂小结】

1．综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从已知条件及学过的定义、定理、公理入手，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求的问题，其过程可表示为：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B

其中A表示已知条件，已有的定义、定理、公理等，B为要证明的结论．

2．分析法的基本思路是“执果索因”，由求证走向已知，即从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到一个明显成立的条件．若用B表示要证明的结论，则分析法可用下面的框图表示：

B⇐A1→A1⇐A1→A2⇐A3→…得到一个明显成立

的条件

3．综合法与分析法的区别与联系．

(1)综合法是从已知条件出发，逐步推向结论，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．

(2)综合法与分析法的书写过程恰恰相反，但对于一个复杂的命题，常用分析法寻找解题思路，用综合法表达，有时综合法与分析法合用，称为“分析综合法”，或称“两头挤法”．分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系．

【课后作业】

必做：《东方思维》A组P57页1-10；选做：《金版》B 组P57页1-3