探究与发现 组合数的两个性质优质课教案推荐

排列组合综合应用

课时目标

1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型.2.掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．

1．几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与____________________________________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

根据定义，向半径为r的圆内投针，落在圆心上的概率为0，因为点的面积为0，但此事件不一定不发生．

2．几何概型的特点

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件总数)有____________个．

(2)每个基本事件出现的可能性________．

3．几何概型的概率公式

构成事件A的区域长度面积或体积P(A)＝

试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积

一、选择题

1．用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为(

)

21A.

B.

3311C.

D.

642．如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到圆内的概率是(

)

π4A.

B.

4π4－π4－πC.

D.

4π3．在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，则含有麦锈病种子的概率是(

)

11A.

B.

1 00090091C.

D.

101004．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(

)

ππA.

B．1－

44ππC.

D．1－

885．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2＋y2<1”，则P(A)为(

)

- 1 -

ππA.

B.

42C．π

D．2π

6．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为(

)

1

2

3

4

5

6

题

号

答

案

二、填空题

7．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看到的是绿灯的概率是________．

8．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．

9．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．

三、解答题

10．过等腰Rt△ABC的直角顶点C在∠ACB内部随机作一条射线，设射线与AB相交于点D，求AD

11．如图，在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm，4 cm,6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算(可重投)，问：

(1)投中大圆内的概率是多少？

(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？

(3)投中大圆之外的概率是多少？

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能力提升

12．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率为(

)

2A．1

B.

332C.

D.

10513．在转盘游戏中，假设有三种颜色红、绿、蓝．在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢11的概率为，输的概率为，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是53等可能的)

处理几何概型问题就要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的区域的长度(角度、面积或体积)，而这往往会遇到计算困难，这是本节难点之一．实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何概型把问题转化为各种几何概率问题．为此可参考如下办法：

(1)选择适当的观察角度；

(2)把基本事件转化为与之对应的几何区域；

(3)把随机事件A转化为与之对应的几何区域；

(4)利用概率公式计算；

(5)如果事件A对应的区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思维．

同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨的思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景出发去判断．

答案：

3．3.1

几何概型

知识梳理

1．构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例

2．(1)无限多

(2)相等

作业设计

2－111．B

[P＝＝.] 33S圆π×12π2．A

[由题意，P＝＝＝.] S正方形2×24取出种子的体积3．D

[取出10 mL麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A，则P(A)＝所有种子的体积101＝＝.] 1 0001004．B

[当以O为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1，

S长方形－S半圆π故所求事件的概率为P(A)＝＝1－.] 4S长方形

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5．A

[如图，集合S＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，则S中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A所对应的事件(x，y)与圆面x2＋y2<1内的点一一对应，

π∴P(A)＝.] 4

3216．A

[A中P1＝，B中P2＝＝，

8634－π×124－πC中设正方形边长2，则P3＝＝，

441×2×121D中设圆直径为2，则P4＝＝.

ππ在P1，P2，P3，P4中，P1最大．] 87.

15408解析

P(A)＝＝. 30＋5＋401518.

31－01解析

由几何概型知所求的P＝＝. 2－－13339.

4π1解析

设圆面半径为R，如图所示△ABC的面积S△ABC＝3·S△AOC＝3·AC·OD＝3·CD·OD

2＝3·Rsin 60°·Rcos 60°

233R＝，

433R233＝＝. 4πR24π∴P＝

10. 解

在AB上取一点E，使AE＝AC，连接CE(如图)，则当射线CD落在∠ACE内部67.5°时，AD

90°

11．解

整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积为S＝16×16＝256 (cm2)．记“投中大圆内”为事件A，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B，“投中大圆之外”为事件C，则事件A所占区域面积为SA＝π×62＝36π(cm2)；事件B所占区域面积为SB＝π×42－π×22＝12π(cm2)；事件C所占区域面积为SC＝(256－36π)cm2.

S9SB3SC9由几何概型的概率公式，得(1)P(A)＝A＝π；(2)P(B)＝＝π；(3)P(C)＝＝1－π.

S64S64S6412．C

[令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2，f(x)的图象是开口向上的抛物线，与x轴的交点为(－1,0)，(2,0)，图象在x轴下方，即f(x0)≤0的x0的取值范围为x0∈[－1,2]，∴P2－－13＝＝.] 5－－51013．解

由于转盘旋转停止位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概

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1型的特点，问题转化为求圆盘角度或周长问题．因为赢的概率为，

51所以红色所占角度为周角的，

5360°即α1＝＝72°.

51同理，蓝色占周角的，

3360°即α2＝＝120°，

3所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°.

将α3分成四等份，

得α3÷4＝168°÷4＝42°.

即每个绿色扇形的圆心角为42°.

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