反比函数在物理学中的应用教学设计(第一课时)

26.2

实际问题与反比例函数

第1课时

实际问题中的反比例函数

1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；(重点) 2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．(难点)

一、情境导入

小明和小华相约早晨一起骑自行车从A镇出发前往相距20km的B镇游玩，在返回时，小明依旧以原来的速度骑自行车，小华则乘坐公交车返回A镇．

假设两人经过的路程一样，自行车和公交车的速度保持不变，且自行车速度小于公交车速度．你能找出两人返回时间与所乘交通工具速度间的关系吗？

二、合作探究

探究点：实际问题与反比例函数

【类型一】

反比例函数在路程问题中的应用

王强家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v米/分，所需时间为t分钟．

(1)速度v与时间t之间有怎样的函数关系？

(2)若王强到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？

(3)如果王强骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？

解析：(1)根据速度、时间和路程的关系即可写出函数的关系式；(2)把t＝15代入函数的解析式，即可求得速度；(3)把v＝300代入函数解析式，即可求得时间．

3600解：(1)速度v与时间t之间是反比例函数关系，由题意可得v＝；

t3600(2)把t＝15代入函数解析式，得v＝＝240.故他骑车的平均速度是240米/分；

153600(3)把v＝300代入函数解析式得＝300，解得t＝12.故他至少需要12分钟到达单位．

t方法总结：解决问题的关键要掌握路程、速度和时间的关系．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”

第5题

【类型二】

反比例函数在工程问题中的应用

在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成的工程量x(m/天)的函数关系图象如图所示．

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(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；

(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？

(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米？

解析：(1)将点(24，50)代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数的解析式；(2)用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间；(3)工作量除以工作时间即可得到工作效率．

k解：(1)设y＝.∵点(24，50)在其图象上，∴k＝24×50＝1200，所求函数表达式为y＝x1200；

x(2)由图象可知共需开挖水渠24×50＝1200(m)，2台挖掘机需要工作1200÷(2×15)＝40(天)；

(3)1200÷30＝40(m)，故每天至少要完成40m. 方法总结：解决问题的关键是掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”

第4题

【类型三】

利用反比例函数解决利润问题

某商场出售一批进价为2元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价x(元)与销售量y(张)之间有如下关系：

x(元)

y(张)

3

20

4

15

5

12

6 10 (1)猜测并确定y与x的函数关系式；

(2)当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？

(3)设此卡的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大并求出最大利润．

解析：(1)要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；(2)代入x＝10求得y的值即可；(3)首先要知道纯利润＝(日销售单价x－2)×日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据销售单价最高不超过10元，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x.

k解：(1)从表中数据可知y与x成反比例函数关系，设y＝(k为常数，k≠0)，把点(3，x6020)代入得k＝60，∴y＝；

x60(2)当x＝10时，y＝＝6，∴日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6张；

10

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120120(3)∵W＝(x－2)y＝60－，又∵x≤10，∴当x＝10时，W取最大值，W最大＝60－x10＝48(元)．

方法总结：本题考查了根据实际问题列反比例函数的关系式及求最大值，解答此类题目的关键是准确理解题意．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

【类型四】

反比例函数的综合应用

如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．已知第12分钟时，材料温度是14℃.

(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式(写出x的取值范围)；

(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？

解析：(1)首先根据题意，材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例函数关系．将题中数据代入可求得两个函数的关系式；(2)168把y＝12代入y＝4x＋4得x＝2，代入y＝得x＝14，则对该材料进行特殊处理所用的时x间为14－2＝12(分钟)．

k1k1解：(1)设加热停止后反比例函数表达式为y＝，∵y＝过(12，14)，得k1＝12×14＝xx168168168，则y＝；当y＝28时，28＝，解得x＝6.设加热过程中一次函数表达式为y＝k2xxxb＝4，k2＝4，＋b，由图象知y＝k2x＋b过点(0，4)与(6，28)，∴解得∴y＝6k2＋b＝28，b＝4，4＋4x（0≤x≤6），168

（x＞6）；x168(2)当y＝12时，y＝4x＋4，解得x＝2.由y＝，解得x＝14，所以对该材料进行特殊x处理所用的时间为14－2＝12(分钟)．

方法总结：现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答此类问题的关键是首先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

三、板书设计

1．反比例函数在路程问题中的应用；

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2．反比例函数在工程问题中的应用；

3．利用反比例函数解决利润问题；

4．反比例函数与一次函数的综合应用．

本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题．将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释“这是什么”，使学生逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.

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