复习题28特级教师教学实录

解直角三角形习题

一．知识思维导图：

二．基础知识梳理

知识点1.锐角三角函数的概念

1.

锐角三角函数

如图，在ABC中，C=90o

（1）正弦sinAA的对边a=

斜边cA的邻边b=

斜边cA的对边a=

A的邻边b（2）余弦cosA（3）正切tanA2.特殊角的三角函数值

三角函数值

30o

sin

1

2cos

3

22

21

2tan

3

345o

2

21 60

o3

23

知识点2.解直角三角形

解直角三角形的理论依据：在ABC中，C=90o

（1）三边之间的关系：勾股定理a2b2c2

（2）锐角之间的关系：AB=90o

（3）边角之间的关系：锐角三角函数

2．解直角三角形的基本类型：已知两边求第三边或锐角；已知一边和一锐角，求另外两边

3.解直角三角形的两种基本图形

4.仰角、俯角；坡度、坡角；方向角

仰角、俯角

（1）

朝上看时，视线与水

平线的夹角为仰角；

（2）

朝下看时，视线与水平线的夹角为俯角；两者的范围都是0°到90°

坡度、坡角

（1）

坡度（坡比）：是指破面的铅直高度与水平宽度之比；

（2）

坡角：破面与水平面的夹角

方向角

从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角。

三．重难点：解直角三角形的实际应用

例题：如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．

【分析】延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC﹣ED求出DC的长即可．

[www.z%^*z~step.co#m]【解答】解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，

在Rt△AED中，AE=BC=30m，∠EAD=30°，

∴ED=AEtan30°=10m，

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=30m，

∴AB=30m，

﹣10=20m．

则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=30来源:zz#step&.%^~com]

点拨：解直角三角形的实际应用题的关键在于构造出直角三角形，并列出已知的边角关系，再根据三角函数关系计算未知的边角大小。

考点1：锐角三角函数

1.（2018大庆）2cos60o （ ）

A.1 B.3 C.2 D.1

22.(2018云南)在RtABC中，C90o，AC1，BC3，则A的正切值为

（ ）

110310A.3 B. C. D.

31010

anBAC3．（2018贵阳）

如图， A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则t的值为（ ）

A. 13 B.1 C. D. 3

23点拨：1、2、3主要考察了三角函数基础计算，熟练记忆特殊角的三角函数值，难度不大。

考点2：解直角三角形

4.（2017滨州）如图，在ABC中，ACBC,ABC30O,点D是CB延长线上的一点，且BD=BA,则tanDAC的值为（ ）

A. 23 B. 3 C.33 D. 33

5.（2018无锡）已知ABC中，AB10，AC27，B30o，则ABC的面积等于 6.（2017铜川）如图，在RtABC中，C=90o，点D是AB的中点，EDAB交AC于点E，设A，且tan

7.四边形ABCD中，BD是对角线，ABC90o，tanABD则线段CD= 解析：如图，当ADB为锐角时，作AHBD于点H，CGBD于点G，

3AH3tanADB=，. 4BH43,AB20,BC10,AD13,41，则tan2 3设AH=3x，则BH=4x. 由勾股定理，得(3x)2(4x)2202，

解得x4，则AH=12，BH=16. 在RtAHD中，HD=AD2AH25, BD=BHHD21

ABDCBD90O,BCGCBD90O

ABDBCG

GB3

GC4

又BC10BG6，CG=8DGBDBG15,CDCG2DG217

当ADB为钝角时，CD528289

综上所述，CD17或89

点拨：此题对AD边在高AH两侧进行分类讨论是关键，理清各量之间的关系，应用勾股定理求出即可。

考点3：解直角三角形的实际应用

8. 如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_____m（结果保留根号）

分析：利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系即可得出答案

解：由题意得：BAD45O,则AB=AD=120m，

又CAD30o，在RtACD中tanCDAtan30o=解得：CD=403

9.

如图，在一笔直的海岸线上有相距CD3，

=AD3的，两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北

偏东_____解析

的方向上，从站测得船在北偏东。

的方向上，则船到海岸线的距离是本题主要考查三角函数。

如图所示，过点作的垂线交于点。

根据题意得：因为，所以，，所以在所以中，。

。

。

，可得，

，，

，

。

故本题正确答案为

10. 如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高一建筑物倾斜角是米，坡面米处有的，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面，若新坡面下处与建筑物之间需留下至少米宽的人行道，问该建，）

筑物是否需要拆除。（计算最后结果保留一位小数）（参考数据：

解析

本题主要考查直角三角形和三角函数

。

由题意得，所以（米），（米）。在（米），在中，中，，

，

所以所以因为（米）（米）。

（米）。

（米），所以该建筑物需要拆除。

掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键。

11. 小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国—南亚博览会”的竖直标语牌

处的仰角为。她在

点测得标语牌顶端，测得隧道底端处的俯角为（

，，

，隧道高

的长（结果保留小数点

在同一条直线上），（即

后一位）。

（参考数据：）

过点作在所以因为因为所以在所以，解得中，因为，即，则中，因为，

，所以，

，

），求标语牌，，与，均为直角三角形，

，

，

，

，，解得，

，

所以即标语牌解析

本题主要考查直角三角形。

的长为。

。

根据题目需要先构造直角三角形，因此过点作三角形和直角三角形。

的垂线，将分成直角在直角三角形再由中根据“出所对的直角边是斜边的一半”即可得出的长度，从而根据求出的长度算出的长度。

的长度，

的长度，

进而在直角三角形最后由

得出中，由的长度即是标语牌的高度。

12. 如图所示，在某海域，一般指挥船在处收到渔船在处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的处位于处的南偏西发现，在处的南偏西方向上，且海里；指挥船搜索方向上有一艘海监船，恰好位于处的正西方向。于是命令海监船前往搜救，已知海监船的航行速度为海里/小时，问渔船在处需要等待多长时间才能得到海监船的救援？（参考数据：确到小时）

，，，结果精

延长交南北轴于点，因为在的正西方，所以于点，

因为所以所以因为所以所以，

为等腰直角三角形，

（海里），

为的直角三角形，，

（海里），

（海里），

因为海监船的航行速度为海里小时，

所以渔船需等的时间约为（小时）。

故渔船在处需要等待约解析

本题主要考查三角函数。

延长交南北轴于点，则于点，通过解和，求出、和小时。

的长，继而求出

的长，即可解决问题。