*8 三元一次方程组国家优质课一等奖

5.8

三元一次方程组

教学目标：

1．理解三元一次方程组的概念，会解三元一次方程组．

2．感受“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思想．

3．经历探索求解三元一次方程组的过程，体会其内涵．

教学重点

掌握三元一次方程组的解法．

教学难点

三元一次方程组化归到二元一次方程组的方法．

教学设计

一、情境导入

课件出示题目：

已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数．

(这里有三个要求的量，直接设出三个未知数列方程组，顺理成章，直截了当，容易理解．) 师：如果设这三数分别为x，y，z，用它们可以表示哪些等量关系？

x＋y＋z＝23；生：x－y＝1；

2x＋y－z＝20.

师：这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？

生：①未知数的个数和方程都比二元一次方程组多一个；②未知数次数都是一次．

引出三元一次方程组的概念：

在这个方程组中，x＋y＋z＝23和2x＋y－z＝20都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．

像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．

关注概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系，

三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解．

练习巩固：

二、探究新知

课件出示教材第130页例题．

引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本指导思想——消元，以及消元的基本方法(代x＋y＋z＝23，

①入消元、加减消元)，尝试对2x＋y－z＝20，

②进行消元，从而解决问题．

x－y＝1.

③步骤1：选取一种方法解此三元一次方程组，由学生独立思考解决，教师注意指导学生规范表达．

步骤2：在学生独立选择方法解决的基础上，引导学生进行比较：在解三元一次方程组时的消元与解二元一次方程组的消元有什么不同？解上面的方程组时，你能先消去未知数y(或z)，从而得到方程组的解吗？

总结：

(1)三元一次方程组的消元可以类比二元一次方程组的消元进行；

(2)用代入消元法：由于方程组③式的特点，可将③式分别代入①②式，消去x，从而转化为关于y，z的二元一次方程组的求解；

(3)用加减消元法：由于③式中没有含z，可以将①②两式联立相加，消掉z，从而得到关于x, y的二元一次方程组的求解．

注意：

(1)教师板书用代入法消元的求解过程，强调解题的格式．求解完后引导学生总结三元一次方程组的求解思路：三元→二元→一元，关键在于消元；

(2)引导学生类比二元一次方程组加减消元法对方程组进行消元．

3x－y＋2z＝3，①练习：1．解方程组2x＋y－4z＝11，②

若要使运算简便，消元的方法应选取(B) 7x＋y－5z＝1，③A．先消去x

B．先消去y

C．先消去z

D．以上说法都不对

2.解方程组：

xyz10...........①

3xy18...............②xyz...................③

三、举例分析

例2：在等式

y=ax2＋bx＋c中，当x = －1时，y = 0；当x = 2时，y = 3；

当x = 5时，y = 60. 求a，b，c的值.

四检测导结：

，

①

x＋

y－

z ＝111.解方程组

，

②

y＋

z－

x ＝5

③

z＋

x－

y ＝1.

2.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，

求a，b，c的值．

引导学生总结出消元的具体做法是：①如果已有某个未知数的表达式，直接用代入消元，否则常用加减消元．②用加减消元时，如果方程组中有至少一个方程只有两个未知数，缺哪个未知数就

消哪个．

3.一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，求原来的三位数。

选4.有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需420元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需380元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元？

A．200元；

B．300元；

C．350元；

D．400元

选5.小明手里有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的张数是2元纸币张数的4倍，求1元、2元、5元的纸币各多少张？

选6.拓展：若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，

则x＋y＋z的值为（

）

A.2

B.3

C.4

D.5 五、小结

1．三元一次方程组的概念及解三元一次方程组的思路．

2．三元一次方程组的解法．

注意选好要消的“元”，选好要消的“法”：代入消元、加减消元．

3．谈谈求解多元一次方程组的思路，提炼化归的思想．

三元――→二元――→一元

六、课外作业

1．教材第131页习题5.9第2题.

2．有同学说列三元一次方程组能解决的问题，一元一次方程也能解决，说一下你的看法．

教学反思：

本节课的内容属于选学内容，主要是对数学兴趣浓厚、学有余力的同学进一步探究和拓展使用。

在数学方法和思想方面需重点引导，通过引导，使学生明白解多元一次方程组的一般方法和思想，理解巩固环节需注意多种解题方法的引导，并且比较各种解题方法之间的优劣，总结出解多元一次方程组的基本方法。

作为选修课，在内容上让学生理解三元一次方程组概念的同时，要让学生理解用三元一次方程组甚至多元一次方程组去求解实际问题的必要性，从而掌握本堂课的基础知识。

在教学的过程中，要让学生充分理解对复杂的实际问题方程中元越多，等量关系的建立就越直接；充分理解代入消元法和加减消元法解方程的优点和缺点，有关这一方面的题目要让学生充分讨论、交流、合作，其理解才会深刻。

消元消元