回顾与思考教学设计

探究中点四边形

木城初中

李淑珍

本节课《探究中点四边形》是在人教版八年级数学课本第68页习题第9题提出的，它是对三角形的中位线的直接应用，同时又是对平行四边形的性质和判定应用的一个延伸。利用三角形中位线定理证明相关发现与平行四边形以及特殊的平行四边形的性质与判定紧密相关。

为了使学生顺利完成认知建构，本节课安排在本章内容结束之后进行，一方面可以让学生对学习过的三角形的中位线和特殊平行四边形的性质与判定进行一次系统性的复习，另一方面也可以让学生将中点四边形与原四边形对角线的本质关系挖掘出来，从而完成本节课的教学。

本节课的教学重点是任意四边形的中点四边形的判定和证明，以及中点四边形的形状的决定性因素。难点有两个，一个是运用已学的平行四边形和三角形中位线的相关知识多角度进行合情推理，分析和概括影响中点四边形形状的主要因素；另一个是逆向探究中点四边形的特殊性与原四边形（对角线）的本质关系。

教学目标：

1、知识与技能：

（1）、了解中点四边形的概念，利用三角形中位线定理证明中点四边形是平行四边形，理解特殊的平行四边形的中点四边形的特征。

（2）分析和概括中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置和数量关系；通过图形变换使学生掌握简单的添加辅助线的方法。

2、过程与方法：

（1）、经历观察、猜想、证明中点四边形是平行四边形的过程，熟练运用三角形中位线定理。

（2）、经历由一般到特殊的思维进程，发现并证明特殊的平行四边形的中点四边形的特征。

3、情感态度与价值观：

通过数学活动培养学生观察、猜想、证明的探索精神。

教学重点：

1、任意四边形的中点四边形形状的判定和证明。

2、影响中点四边形形状的主要因素的分析和概括。

教学难点：

（1）、运用已学的平行四边形和三角形中位线的相关知识多角度进行合情推理，分析和概括影响中点四边形形状的主要因素；

（2）逆向探究中点四边形的特殊性与原四边形（对角线）的本质关系。

教学过程

教学环节一、复习旧知，引出新课

1、什么是三角形的中位线？三角形的中位线具有什么性质？

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。（中点见中点，就想中位线。数量是一半，位置是平行。）

2、我们把顺次连接四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形。今天我们就一起来探究中点四边形。

教学环节二、操作探究，证明发现

1、动手操作，发现感悟。

请同学们自己任意画一个四边形，顺次连接四边形各边的中点。画一画，看一看，你得到了一个什么样的四边形？（一学生上台板演）学生交流：通过讨论可以得出，依次取四边形ABCD的四边中点E、F、G、H，顺次连接各点得到四边形EFGH。然后分组请代表展示，发现所得到的四边形是EFGH中点四边形。

设计意图：开门见山，直奔主题，既简单明了，又轻松自然，能激发学生对本课的学习兴趣。

2、你能证明你的发现吗？

讨论：四边形EFGH是平行四边形，你认为可靠吗？

请同学们证明自己的判断。

这个证明的关键是什么？

学生回答证明过程。

设计意图：通过图形的展示，给学生以直观感，让学生经历观察——猜想——论证的过程。在分析过程中，教师引导学生用不同的方法来证明，不仅复***行四边形的几种判定方法，而且让学生认识到连接对角线是解决问题的关键，将四边形的问题转化为三角形的问题来解决，加深中点四边形的边与原对角线之间的位置和数量关系的认识。

教学环节三：探究发现，验证猜想。

1、教师提问，引导发现：

（1）、中点四边形会是特殊的平行四边形吗？特殊的平行四边形有哪些？（菱形、矩形、正方形）

什么是菱形？（一组邻边相等的平行四边形是菱形。）

（2）、怎样使得中点四边形EFGH是菱形？EF、FG的长度由谁决定？怎样使

得EF=FG呢？（AC=BD）

2、几何画板，验证猜想。

出示几何画板，四边形ABCD中，AC=BD，中点四边形EFGH为菱形。

3、类比探究。

学生自主探究中点四边形在什么情况下是矩形？什么情况下是正方形请同学们分组探究，提出猜想，并验证你的猜想。

设计意图：通过此环节，学生讨论后，教师让学生单独口述证明过程，能够更好引导学生在主动猜想和思考的基础上，自觉上升到理性思考，进行严谨的证明，同时培养学生交流合作的能力。

4、得出结论。

若原四边形对角线相等,则中点四边形是菱形. 若原四边形对角线垂直,则中点四边形是矩形. 若原四边形对角线相等且垂直,则中点四边形是正方形. 5、从上面的探究过程中，中点四边形的形状是由什么决定的？

（原四边形的对角线的数量关系和位置关系）

设计意图：既培养了学生分类思想的应用，又顺应了学生自主探究的需要，给学生的想象与创造提供了更大的空间。经过操作、观察和推理，学生终于看到了中点四边形的一般规律与本质——对角线是决定性的因素，

教学环节四：初步应用，逆向感知

1、特殊的平行四边形的中点四边形是什么？

平行四边形的中点四边形是_______。

矩形的中点四边形是________。

菱形的中点四边形是________。

正方形的中点四边形是_______。

为什么？

设计意图：从一般到特殊培养学生的逻辑思维能力，给学生渗透逐步加深探究的途径。

2、顺次连接四边形各边中点,得到了一个矩形,则下列四边形满足条件的是(

). ①平行四边形

②菱形

③矩形

④对角线互相垂直的四边形

A.

①

③

B.②

③

C.③

④

D.②

④

3、顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形是菱形,则原四边形一定是(

).

A.平行四边形

B.对角线相等的四边形

C.矩形

D.对角线互相垂直的四边形

设计意图：通过逆向思维的探究过程，将探究活动的难度提升。

教学环节五：综合应用，拓展提升

1、如图,在正方形ABCD中,点M、N分别在BC、DC上,且满足BM=CN, 连接MN和AN,若点E、F、G、H分别为AB、BM、MN、NA的中点,请判断四边形EFGH的形状并加以证明.

设计意图：这个几何模型是中考中经常出现的，让学生完成对问题从“观察——猜想——研究——发现——证明”的过程，培养学生研究问题的方法和概括能力。

2、如图,四边形ABCD中,AC⊥BD,顺次连接四边形各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,......如此进行下去.

(1)

那么四边形A1B1C1D1是什么形状? (2)

那么四边形A2B2C2D2是什么形状? (3)

那么四边形AnBnCnDn是什么形状? 设计意图：通过这样一道规律探究题，让学生对本节课的内容拓展提升，完成知识的内化。

教学环节六：总结反思，完善认知

通过本节的学习，你最大的收获或感想是什么？

1、

对角线是一种常用的辅助线——将四边形转化成两个三角形。

2、

归纳与猜想是创新与发明的重要步骤，然而，猜想只是归纳的判断而非可靠的结果，它的正确性有赖于用推理的方法加以证明；

3、

数学思想方法：转化思想。

设计意图：通过让学生自己谈感悟，谈收获，完善认知，内化知识，从知识内容、学习方法、学习态度、数学思想等方面学生获得了综合体会，积淀了所学，升华了课堂。