1.2.2 空间中的平行关系全国优秀课堂实录

空间直线和平面

①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内. ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. ◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理：

◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.

◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

理解以下性质定理，并能够证明：

◆如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行.

◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.

◆垂直于同一个平面的两条直线平行.

◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. ③

能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

一.基础知识梳理

1.两异面直线及所成的角

2.直线和平面所成的角

3.二面角

二.典型例题

例1．如图，在正四棱柱

ABCDA1BC11D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是( ) A.EF与BB1垂直 B.EF与BD垂直 C.EF与CD异面

D.EF与A1C1异面

例2.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=2，BB1=2，ABC90，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为

.

例3.已知菱形ABCD中，AB2，A120，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角ABDC为120，则点A到△BCD所在平面的距离等于

．



例4．如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°. (1)求四棱锥P—ABCD的体积；

(2)证明:PA⊥BD.

PDABC三.基础训练

1.已知m,n是两条不同直线，,,是三个不同平面，下列命题中正确的是（

）

A.若m‖,n‖,则m‖n

B.若,,则‖

‖,则‖

C.若m‖,m

2.已知平面平面，

D.若m,n,则m‖n

l，点A，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（

）

．．．A.AB∥m

B.AC⊥m

C.AB∥β

D.AC⊥β

3.已知P为平面外一点，直线l,点Ql,记点P到平面的距离为a,点P到直线l的距离为b，点P、QP,Q之间的距离为c，则（

）

A.abc

B.cab

C.acb

D.bca

4.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为ππ和，46过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝（ ）

A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3

A B′

A′

B β

α

5.已知平面α和平面β交于直线l，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到l的距离为

.

6.已知平面,和直线，给出条件：

①m//；②m；③m；④；⑤//.

(1)当满足条件

时，有m//；

(2)当满足条件

时，有m.（填所选条件的序号）

7.三棱锥P—ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3. (1)求证AB⊥BC；

(2)如果AB=BC=23，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.

8.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CDBCD,(1)证明：C1C⊥BD；

(2)当

A B C P CD的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明. CC1

四.巩固练习

1.设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（

）

．A.在平面内有且只有一条直线与直线m垂直

B.过直线m有且只有一个平面与平面垂直

C.与直线m垂直的直线不可能与平面平行

．D.与直线m平行的平面不可能与平面垂直

．2.设a，b为两条直线,，为两个平面,下列四个命题中，正确的命题是(

) A.若a，b与所成的角相等，则a∥b

B.若a∥，b∥，∥，则a∥b

C.若a，b，a∥b，则∥

D.若a，b，，则ab

3.给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；

③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行；

④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是（

）

．A.1

B.2

C.3

D.4

4.设、、为平面，m、n、l为直线，则m的一个充分条件是( )

A.,l,ml

B.m,,

C.,,m

D.n,n,m

5.设P是60的二面角l内一点，PA平面,PB平面,A,B为垂足，

（

）

PA4,PB2,则AB的长为：

A.23

B.25

C.27

D.42

6.在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分别是AB,BD 的中点，

求证：(1)直线EF ∥面ACD；(2)面EFC⊥面BCD．

7.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB∥DC，△PAD是P 等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC45．

(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；

(2)求四棱锥PABCD的体积．

A B D M C

8.如图1，ACB45，BC3，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使BDC90（如图2所示）． (1)当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大；

(2)当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求EN与平面BMN所成角的大小．

A

B C

D

图1

A

M D B ·. E

C 图2