3.1.2 复数的几何意义公开课教案

§3.1.2复数的几何意义（教学设计）

洛阳市第九中学

马雪梅

教学分析

复数的几何意义是学生在学完复数后的一节课，它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要基础，故学好本节内容至关重要。

然而，在之前学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。

教学目标

1.知识与技能目标

理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模. 2.过程与方法目标

通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力. 3.情感与态度价值观目标

通过复数的几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣. 重点与难点

重点：复数的几何意义以及复数的模；

难点：复数的几何意义及模的综合应用. 教法与学法

教法：本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式. 学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式. 教学过程

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

创

设

情

境

新

知

研

探

最早有关复数方根的文献出于公元1世纪希腊数学家海伦，他考虑的是平顶金字塔不可能问题。

16世纪意大利米兰学者卡尔达诺第一次把负数的平方根写到公式中。

给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔

欧拉第一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。

挪威的测量学家韦塞尔在1797年首先发表虚数的几何解释。

随即瑞士的藏书家阿甘得出书进行讨论。

1799年高斯给予认同，并完善了复数的几何解释，他又第一次提出了“复数”这个名词，使得复数不再显得那么虚无缥缈了，人们从此真正接受了复数.

探究一：复数的几何意义

思考1: 实数与数轴上的点的对应关系是什么？类比实数的表示，是否也存在一个点与之对应？若存在，这个点的形式是什么？

学生阅读

介绍复数的发展史，吸引学生的注意力；让学生知道人类对客观世界的认识离不开探索，但所有知识都通过探索去获得。

教师提出问题

学生思考

实数 一一对应 实数轴上的点

数

形

问：你能找出复数与有序实数对、

坐标点的对应关

系吗？

教师通过

多媒体展

示，让学生

认知复平

面内基本

概念

复平面的概念

把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，

x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实

数，除原点外，虚轴上的点都表示虚数。

总结提升

一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的

点分别表示什么样的数？

师生共同

实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的总结

点都表示纯虚数，各象限内的点表示实部不为零的虚

数.

注意：点Z的坐标是（a,b）,而不是（a,bi）。

练习：

1，在复平面内，指出下列复数对应的点坐标：

通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系。从而找到复数的几何意义

例

题

分

析

（1）25i；（2）32i；（3）24i；

（4）35i；（5）5；（6）3i．

2，说出图中复平面内的点所表示

的复数（每个小正方格的边长为1）．

例1．已知复数z(m2m6)(m2m2)i在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．

变式一：已知复数z(m2m6)(m2m2)i，证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限．

变式二：已知复数z(m2m6)(m2m2)i在复平面内对应的点在直线x2y40，求实数m的值．

练习：实数x分别取什么值时，复数zx2x6(x22x15)i对应的点Z在

（1）第三象限？

（2）第四象限?

(3)直线xy30上?

思考2：平面向量OZ的坐标为

(a,b),由此你能得出复数的另一个几何意义吗？

学生独立思考，并回答。教师点评

学生说思路，师生共同点评，然后学生做题

师生点评做题情况

学生小组合作讨论

学生独立思考，并回答。教师点评

让学生理解表示复数的点所在象限的问题转化，复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题，并掌握重要的数学思想：数形结合思想

通过思考2，让学生能够把复数和向量相结合，从而推导

（1）每一个向量都对应一个坐标吗？

（2）每一个坐标都对应一个向量吗？

向量与坐标能够一一对应

复数的几何意义：

复数

zabi

复平面

平面向量

内的点

OZ

Z（a,b）

注意：

①实数0与零向量对应。

②相等的向量表示同一个复数。

探究二：复数的模

复数的模

向量OZ的模叫做复数Z=a+bi的模，记作Z或

abi。如果b=0，那么Z=a+bi就是实数a，它的模

等于a（即实数a的绝对值）。

Z=abi=a2b2

注意：不是实数的复数不能比较大小，但是复数的模

可以比较大小。

复数的另一个几何意义。

例

题

分

析

思考：实数的绝对值、向量的模的几何意义是什么？通过类比，你能说出复数的模几何意义吗?

实数绝对值的几何意义:

实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离. 复数的模的几何意义: 复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 复数的模其实是实数绝对值概念的推广

练习：

1，求下列复数的模：

学生独立思考，并回答。教师点评

(1)z15i． (2)z234i (3)z355i

2，求复数z134i及z215i的模，并且比较它们学生说思模的大小。

路，师生共

同点评，然探究三：复数的模的意义

后学生做题

例2．设zC，满足条件|z|5的点Z的集合是什么

图形？

师生点评变式一：设zC，满足条件3|z|5的点的集合是做题情况

什么图形？

变式二：若复数z(x,y)对应点集为圆：

让学生通过类比向量模的几何意义，归纳出复数的模几何意义。

(x,y)(x1)2(y3)21,x,yR,求的最大值高

考

链

接

与最小值。

1，(2017·高考全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(

) A．第一象限

B.第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2,，在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于(

) A．第一象限

B.第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3，(2017·高考北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(

) A．(－∞，1)

B.(－∞，－1) C．(1，＋∞)

D．(－1，＋∞)

尝试独立完成练习并回答结果

通过试题的形式检测学生对知识的掌握情况

4，如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：

→→(1)AO、BC所表示的复数；

→(2)对角线CA所表示的复数；

(3)B点对应的复数．

课

堂

小

结

（巡视，个别辅导，及时评价）

复数

zabi

复平面

平面向量

内的点

OZ

Z（a,b）

1、复平面

2、复数的模

3、复数模的几何意义

4、数学思想方法：类比、数形结合，转化思想

以提问的方式来达到总结的目的

引导学生一起总结本节课的主要内容.

作业布置

作业1 P55 A组 4，5 B组 1，2 作业2 :补充作业 21．当m1时，复数z(3m2)(m1)i在复数平面上对应的点位于（

）

3A．第一象限

B．第二象限 C．第三象限

D．第四象限

2．已知z153i，z253i，下列选项正确的是（

）

A．z1z2 B．|z1||z2|

C．|z1||z2|

D．|z1||z2|

3．复平面上有点A，B其对应的复数分别为3i和13i，O为原点，那么AOB是（

）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形

D．正三角形

4．若复数z135i，z21i，z32ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a

．

5．复数zx3i(y2)（x,yR）且|z|2，则点(x,y)的轨迹是

．

板书设计

§3.1.2复数的几何意义

1.复平面的概念

2.复数的几何意义

①复数zabi一一对应复平面内的点Z(a,b)

②复数zabi平面向量OZ；

3.复数的模

复数zabi(a,bR)的模：

一一对应4.例题讲解

例1.

例2.

练习1

练习2

练习3

作业布置

|z||OZ|a2b2

教学反思

１. 由实数用数轴上的点来表示，类比联想得到复数可用复平面上的点来表示，进而得到复数的向量形式，这是由一维向二维的联想，同时实现了从“数”到“形”的转化。类比平面向量的加减法，又得到了复数加减法的几何意义，从而对复数有了新的认识。

２. 通过复数的几何意义与复数的模几何意义的学习，体会数形结合的思想。复数作为一种新数学语言，也将为我们今后用代数方法解决几何问题提供了可能。