复习参考题优秀完整教案

3.3.2简单的线性规划问题

石家庄二中

刘俊男

一、教学目标

（一）知识与技能

1. 了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。

2. 会用图解法解决简单线性规划问题，即求目标函数的最大值或最小值。

（二）过程与方法

在线性规划问题的探究过程中，引导学生通过观察、分析、操作、归纳、概括的基本环节，达到知识的建构。增强学生的观察、联想、细心作图的能力，把握化归思想和数形结合两大数学思想。

（三）情感态度与价值观

学习中渗透函数、数形结合、化归等重要数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣。

二、教学重点和难点

教学重点：图解法解线性规划的实际问题。

教学难点：准确求得线性规划问题的最优解。

三、教 具

多媒体、实物投影仪、三角板

四、

教学过程

（一）精彩瞬间

线性规划在时间安排，资源利用，甚至在国家发展进程的每一分钟都发挥着重要作用。让我们先观看一段视频《一分钟你能做些什么》。一分钟的努力，汇聚中国的力量，每一瞬间的改变离不开合理的规划。

（二）创设情景

若干年后的你成为某行业的领军人物，将会面对生产安排、人力调配等诸多问题，你会怎么做？我们一起来看这个实际问题。

例题：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件并耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂每天生产安排可能是什么？

1.

问题中的数据多，条件复杂，为方便理清思路，我们可采用表格形式呈现出来。

数据分析表：

每件耗时（h）

A配件（个）

B配件（个）

甲产品

乙产品

日生产

1

2

4

0

0

4

816122.

根据表格中的数据，我们可以将实际问题用数学语言抽象出来，设立变量进行处理。假设甲，乙产品日生产分别为x，y件，那么x，y应满足什么条件呢，请同学们思考。（查看学生情况，找未写整数点的同学来黑板书写，请其他同学帮忙纠错）

3.

请同学们在直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域，请一名同学来黑板前画一下，其余同学拿出练习纸画图。提出问题：该厂每天可能的生产安排是这个区域内所有的点吗？（阴影区域的整数点）

（三）情景探究

进一步探究，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排获得利润最大？

1.

我们可以继续设立变量进行处理。假设工厂获得的利润为z，那么能得到关于x，y的什么函数关系式呢？ 2.

选取何种生产方案时利润最大，这个问题就转化成x，y何值时，z最大。我们如何进行解决呢？请大家认真思考，以小组为单位展开讨论，稍后将交流的成果展示给大家。

3.

从学生展示成果的话语中，找出几个问题寻求其他学生帮忙解决。

（1）为什么转化成y=。。。。（把陌生的求最值的代数问题转化成熟悉的直线方程，该直线的截距是三分之z，求z的最大值，也就转化为求截距的最大值）

（2）那么当直线y=。。。经过不等式组确定区域内什么位置时，z有最大值？

（当直线经过x=4与x+2y-8=0的交点M（4,2）时，截距最大。把x=4.y=2代入求得z=14）

4.

这个实际问题迎刃而解了。为了我们以后说话方便，我们在这里引进一些新的概念。在上述问题中，（1）不等式组是一组对变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，我们称之为线性约束条件。

（2）这里z=2x+3y是关于变量x，y的一次解析式，我们称之为线性目标函数。

（3）像这样在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称线性规划问题。（书写板书标题）

（4）我们将满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解。由所有可行解组成的集合叫做可行域。其中使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。

（四）比较练习

求利润z=x+3y的最大值

1.

趁热打铁我们来做一道练习，若将上题的目标函数改为z=x+3y，则z的最大值是多少？请同学们在练习纸上认真作图解答。稍后请同学们来前面投影展示。

2.

目标函数的改动，为什么会导致最优解的位置发生变化呢？（斜率不同）对于直线斜率大小的比较，我们后续进行学习。

3.

比较这两道题的最优解，我们可以发现什么共同点呢？（都是整数点）若满足约束条件的最优解不是整数点，问题能否沿用同样方式解决呢？（可以）

（五）课堂小结

1. 通过本节课的学习，请同学们进行总结，对于线性规划的实际应用问题是如何解决的？（将实际问题中的数据整理成表格的形式，设立变量，

找出约束条件和目标函数，转化成线性规划问题，并结合图像进行解答）

2. 解决过程中具体涉及到哪些问题的转化呢？（线性约束条件转化为可行域，线性目标函数Z=Ax+By转化为一组平行线，最优解转化为寻找平行线组在可行域内的最大（小）纵截距）

（六）趣味解题

最后我们看一道趣味解题。如果像视频中出现：两条直线交点不是整数点的问题。满足约束条件的整数最优解该如何选取呢？这个问题留给大家课下进行思考，我们下节课再做交流。

五、课后反思

在教材例题的框架下，我本着贴近时代、贴近生活、贴近学生为原则．以学生的日常学习、生活为背景，设计了一道例题、一道练习题、一道趣味解题，让学生感受到数学来源于实践，服务于生活．使学生在掌握数学知识和方法的同时，享受学习数学带来的情感体验和成功的喜悦。利用多媒体技术，将学生的练习结果用投影仪展示给大家，通过同学的讲解、其他同学帮忙规范解题过程、教师总结评价等形式，使学生对新知识的理解运用更加深刻。在板书设计、教学语言、课程内容全面化和深度化等方面仍需多下功夫，虚心向前辈们认真学习，不断提升教学本领，迎难而上打磨自身，不畏艰辛稳步成长！