小结教案设计范例

第三章

不等式

学习目标

1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式求解函数最值．

一、知识点

知识点一

“三个二次”之间的关系

所谓三个二次，指的是①二次函数图象及与x轴的交点；②相应的一元二次方程的实根；③一元二次不等式的解集端点．

解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化．

知识点二

规划问题

1．规划问题的求解步骤．

(1)把问题要求转化为约束条件；

(2)根据约束条件作出可行域；

(3)对目标函数变形并解释其几何意义；

(4)移动目标函数寻找最优解；

(5)解相关方程组求出最优解．

2．关注非线性：

(1)确定非线性约束条件表示的平面区域．可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域．

y－b(2)常见的非线性目标函数有①，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)连线的x－a斜率；②x－a2＋y－b2，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)的距离．

知识点三

基本不等式

利用基本不等式证明不等式和求最值的区别．

利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．

利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等．

二、题型探究

类型一

“三个二次”之间的关系

例1

设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围．

解

M⊆[1,4]有两种情况：

其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围．

设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，

对方程x2－2ax＋a＋2＝0，

有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，

①当Δ<0时，－1

②当Δ＝0时，a＝－1或a＝2. 当a＝－1时，M＝{－1}

[1,4]，不满足题意；

当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]，满足题意．

③当Δ>0时，a<－1或a>2. 设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1

那么M＝[x1，x2]，M⊆[1,4]⇔1≤x10，

a≤18，71＜a＜4，a＜－1或a>2，a≤3，

18解得2

718综上可知，当M⊆[1,4]时，a的取值范围是(－1，]．

7反思与感悟

(1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化，如1≤x1

1＜a＜4且Δ>0

(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想．

跟踪训练1

若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________. 答案

2 解析

因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，

所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1，

6⇒1＋m＝a，1·m＝am>1，

m＝2，⇒

a＝2.

类型二

规划问题

x－4y≤－3，例2

已知变量x，y满足约束条件3x＋5y≤25，x≥1，

求z＝2x＋y的最大值和最小值．

解

如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域．

设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；当直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小．

上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；当l0过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3. 反思与感悟

(1)因为寻找最优解与可行域的外界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确；(2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系，所以要关注截距越大，z越大还是越小．

跟踪训练2

某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．

解

设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，

x＋2y≥4，由题意可得x≥0，y≥0，x，y∈N.2x＋y≥5，

所用原料的总面积为z＝3x＋2y，

作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．

在一组平行直线3x＋2y＝z中，

经过可行域内的点A时，z取得最小值，

直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点为A(2,1)，

即最优解为(2,1)．

所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．

类型三

利用基本不等式求最值

命题角度1

无附加条件型

50x例3

设f(x)＝2. x＋1(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；

(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值．

1解

(1)当x>0时，有x＋≥2，

x50x50∴f(x)＝2＝≤25. 1x＋1x＋x1当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，

x∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25. 1(2)∵函数y＝x＋在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，

x50∴f(x)＝在[2，＋∞)上是减函数，且f(2)＝20. 1x＋x∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20. 反思与感悟

利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解．

1跟踪训练3

求函数y＝＋x(x＞3)的最小值．

x－311解

∵y＝＋x＝＋(x－3)＋3，x＞3，

x－3x－31∴x－3＞0，＞0，

x－3∴y≥21·x－3＋3＝5. x－31当且仅当＝x－3，

x－3即x＝4时，y有最小值5. 命题角度2

有附加条件的最值问题

例4

函数y＝a1x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，－11则＋的最小值为________．

mn答案

4 解析

方法一

y＝a1x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)，

－∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，

∴m＋n＝1，

11m＋n11∴＋＝＝≥＝4，

mnmnmnm＋n221当且仅当m＝n＝时，取等号．

2方法二

1111＋＝(m＋n)(＋) mnmnnm·＝4，

mnnm＝2＋＋≥2＋2mnm＋n＝1，1当且仅当nm即m＝n＝时取等号．

2m＝n，11∴m＋nmin＝4. 反思与感悟

当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值．

12跟踪训练4

设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值．

xy12解

∵＋＝3，

xy112＋＝1. ∴3xy112＋

∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×3xyy4x114＋＋≥4＋2 ＝xy33448＝＋＝. 333y4x当且仅当＝，即y＝2x时，取等号．

xy1224又∵＋＝3，∴x＝，y＝. xy338∴2x＋y的最小值为. 3三、当堂测

x＋y≤3，1．设变量x，y满足约束条件x－y≥－1，y≥1，A．12B．10C．8D．2 答案

B y4x·

xy

则目标函数z＝4x＋2y的最大值为(

)

z解析

画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋，

2z作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时，纵截距最大．

2

x＋y＝3，解方程组得A(2,1)，

y＝1，

所以zmax＝4×2＋2×1＝10. 12．若不等式ax2＋bx－2>0的解集为{x|－2

) 4A．－18B．8C．－13D．1 答案

C 1解析

∵－2和－是方程ax2＋bx－2＝0的两根．

4∴12－2×－＝－，4a1b－2＋－＝－，4a

a＝－4，∴∴a＋b＝－13. b＝－9，

113．设a>b>0，则a2＋＋的最小值是(

) abaa－bA．1B．2C．3D．4 答案

D 1111解析

a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋

abaa－babaa－b11＝a(a－b)＋＋ab＋

abaa－b≥2＋2＝4. 当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，

即a＝2，b＝四、方法总结

1．不等式的基本性质

不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．

2时取等号．

2

2．一元二次不等式的求解方法

对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集．

3．二元一次不等式表示的平面区域的判定

对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．

4．求目标函数最优解的方法

通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．

5．运用基本不等式求最值时把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．