信息技术应用 估计√2的值教学教案设计

2.5等比数列的前n项和（二）

教学目标

（一）

知识与技能目标

等比数列前n项和公式．

（二）

过程与能力目标

综合运用等比数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式解决相关的问题．

教学重点

进一步熟悉掌握等比数列的通项公式和前n项和公式的理解、推导及应用．

教学难点

灵活应用相关知识解决有关问题．

教学过程

一、复习引入：

首先回忆一下前几节课所学主要内容：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：（q≠0）

2.等比数列的通项公式:

an=qan1ana1qn1(a1q0)，

anamqm1(a1q0)

3．｛an｝成等比数列an1=q（nN,q≠0）

an

“an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

5．等比中项：G为a与b的等比中项.

即G=±ab（a,b同号）. 6．性质：若m+n=p+q，则amanapaq

7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法

8．等比数列的增减性：当q>1, a1>0或01, a1<0,或00时, {an}是递减数列;当q=1时, {an}是常数列;当q<0时, {an}是摆动数列; 9．等比数列的前n项和公式：

(q1)na1Sna1(1qn)

(q1)1q10．Sn是等比数列an的前n项和，

①当q=－1且k为偶数时，Sk,S2kSk,S3kS2k不是等比数列. ②当q≠－1或k为奇数时，Sk,S2kSk,S3kS2k

仍成等比数列

11．练习题：求和：1aaaa

二、探究 1．等比数列通项an与前n项和Sn的关系？

23n1

{an}是等比数列SnAqnB其中A0,q1,AB0. 练习：

若等比数列{an}中，Snm3n1,则实数m＝ . 2．Sn为等比数列的前n项和, Sn0

，则Sk,S2kSk,S3kS2k(kN*),是等比数列．

解：设等比数列an首项是a1，公比为q, ①当q=－1且k为偶数时，Sk,S2kSk,S3kS2k不是等比数列. ∵此时，SkS2kSkS3kS2k =0. (例如：数列1,－1,1,－1,…是公比为－1的等比数列，S2S4S2S6S4S2=0 ) ②当q≠－1或k为奇数时，Sk＝a1a2a3ak0

kS2kSk＝q(a1a2a3ak)0

2kS3kS2k＝q(a1a2a3ak)0

Sk,S2kSk,S3kS2k（kN）成等比数列．

评述：①注意公比q的各种取值情况的讨论，

②不要忽视等比数列的各项都不为0的前提条件．

练习：

①等比数列中,S10= 10,S20= 30,则S30= 70 .

②等比数列中,Sn= 48,S2n= 60,则S3n= 63 . 3．在等比数列中,若项数为2n (n∈N ),S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和,则*S偶S奇 q . 练习：

等比数列{an}共2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q = 2 . 综合应用: 例1: 设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn1,Sn,Sn2成等差数列,则q的值为 -2 . 解：SnSn1Sn2Sn

an1an2an1an22an1q2．

例2:等差数列{an}中,a1=1,d=2,依次抽取这个数列的第1,3,3,…，3项组成数列{bn}, 求数列{bn}的通项和前n项和Sn. 解:由题意an =2n-1, 故bna3n123n11,

2n-1Sn=b1+b2+…+bn

=2(1+3+3+…+3)-n

=3-n-1. 三、课堂小结：

1．{an}是等比数列SnAqnB其中A0,q1,AB0. 2．Sn为等比数列的前n项和,则Sn,S2nSn,S3nS2n,一定是等比数列. 3．在等比数列中,若项数为2n (n∈N ),S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和,则四、课外作业：

1．阅读教材第59~60．

2、一个等比数列前n项的和为Sn48,前2n项之和S2n60，求S3n

3、在等比数列中，已知：S34,S636，求an

2n-1n*S偶S奇q.

思考题：

1、

已知等差数列{an}的第二项为8，前十项的和为185，从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第8项、……、第2项按原来的顺序排成一个新数列{bn}，求数列{bn}的通项公式和前项和公式Sn

2、等比数列an前n项和与积分别为S和T，数列n1'的前n项和为S，

anS

求证：T'

S2n

3、设首项为正数的等比数列，它的前n项之和为80，前2n项之和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列