2.1 直线与圆的位置关系教学设计范文

点、直线和圆的位置关系

适用学科

适用区域

初中数学

通用

1、点和圆的位置关系

适用年级

课时时长（分钟）

初中三年级

120 知识点

2、直线和圆的位置关系

3、切线的判定、切线长定理

1、掌握点和圆及直线和圆的位置关系并能解决相关的数学问题

2、培养学习数学的兴趣，提升解题能力

掌握点和圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系

直线和圆的位置关系综合题的解答. 教学目标

教学重点

教学难点

教学过程

一、课堂导入

问题：观察上面太阳升起的图片，思考直线和圆有怎样的位置关系？

二、复习预习

1、圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半

1

2、圆周角定理的推论：

（1）同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. （2）半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径

3、其它推论：①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. ②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半. ③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等. ④圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 三、知识讲解

考点1 点与圆的位置三种位置关系

如图1所示，设⊙O的半径为r，

A点在圆内，OA＜r

B点在圆上，OB= r

C点在圆外，OC＞r

图1 反之，在同一平面上，已知的半径为r⊙O，和A，B，C三点：

若OA＜r，则A点在圆内

若OB= r，则B点在圆上

若OC＞r，则C点在圆外

考点2 直线和圆的位置关系（设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.）

1、当d＞r时，直线与圆相离(如图所示）

2

2、当d＜r时，直线与圆相交（如图所示）

3、当d=r时，直线与圆相切（如图所示），此时直线即为圆的切线. 考点3 切线的判定和性质

1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径

2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

考点4切线长定理1、切线长定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长(如图AB长度即为切线长）. 3

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.如图所示，PA,PB为圆的两条切线，则PA=PB,∠APO=∠BPO.

4

考点5 三角形的内心外心

经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。

四、例题精析

例1

【题干】若圆的半径为4cm，如果一个点和圆心的距离为6cm，则这个点和这个圆的位置关系是（

）

A．点在圆上

B．点在圆外

C．点在圆内

D．点在圆内或点在圆外

【答案】B

【解析】∵圆的半径为4cm，点和圆心的距离为6cm，4＜6，

∴这个点和这个圆的位置关系是点在圆外．

故选B．

例2

【题干】如图所示，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF∥AB，交BC于E，交AD于F，则以点B为圆心，

长为半径的圆与直线AC，EF的位置关系分别是多少？

5

【答案】由题中已知条件，得

BO⊥AC，BO=BD=即点B到AC的距离为∴直线AC与⊙B相切．

∵EF∥AB，∠ABC=90°，

∴BE⊥EF，垂足为E．

且BE=BC=×2=1＜∴直线EF与⊙B相交．

【解析】此题重点是根据题意和正方形的性质，分别找到圆心到直线的距离，再根据数量关系判断其位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．

例3

【题干】如图，在直角坐标系XOY中，已知两点O1（3，0）、B（-3，0），⊙O1与X轴交于原点0和点A，E是Y轴上的一个动点，设点E的坐标为（0，m）．

（1）当点O1到直线BE的距离等于3时，问直线BE与圆的位置关系如何？求此时点E的坐标及直线BE的解析式；

（2）当点E在Y轴上移动时，直线BE与⊙O1有哪几种位置关系？直接写出每种位置关系时的m的取值范围．

，

=，

，与⊙B的半径相等；

6

【答案】（1）当m＞0时，如图所示：

由已知得BE是⊙O1的切线，设切点为M，连接O1M，则O1M⊥BM，

∴O1M=3，

∵O1（3，0）、B（-3，0），

∴BO1=6，

∴BM===3，

又∵OE⊥BO，

∴Rt△BOE∽Rt△BMO1，

∴=，即=，

∴OE=，∴m=，∴E（0，）

设此时直线BE的解析式是y=kx+m，

将B（-3，0）及E（0，）代入上式，解得，

∴直线BE的解析式为：y=x+，

当m＜0时，E（0，-）

由圆的对称性可得：k=-，m=-时，直线BE也与⊙O1相切，

同理可得：y=-x-．

（2）当m＞或m＜-时，直线与圆相离，

当m=或m=-时，直线与圆相切，

当-m＜时，直线与圆相交．

7

【解析】（1）根据题意得出⊙O1的半径，判断出直线BE与⊙O1的关系，根据题意画出直线BE，连接O1M，由利用勾股定理求出BM的长，由相似三角形的判定定理得出Rt△BMO1∽Rt△BOE，求出BE的长，进而得出E点坐标，用带定系数法即可求出直线BE的解析式，根据对称的性质可知当m＜0时的直线解析式；

（2）根据（1）所求出的m的值，分三种情况进行讨论，即可得出直线BE与⊙O1的位置关系．

例4

【题干】已知⊙O的半径为5cm，P为圆外一点，A为线段OP的中点，当OP=12时，点A和⊙O的位置关系是（

）

A．点A在⊙O内

B．点A在⊙O外

C．点A在⊙O上

D．无法确定

【答案】B

【解析】∵A为线段OP的中点，OP=12，

∴OA=6，

∵OA＞5，∴点A在⊙O外，

故选B．

例5

【题干】如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（3，0）为圆心的圆与x轴交于原点O和点B，直线l与x轴、y轴分别交于点C（-2，0）、D（0，3）．

（1）求出直线l的解析式；

（2）若直线l绕点C顺时针旋转，设旋转后的直线与y轴交于点E（0，b），且0＜b＜3，在旋转的过程中，直线CE与⊙A有几种位置关系？试求出每种位置关系时，b的取值范围．

8

【答案】（1）设直线l的解析式为：y=kx+b，

将点C（-2，0）、D（0，3）的坐标代入有：解得：k=，b=3．

，

∴直线l的解析式为：y=．

（2）由题意得：旋转得到的直线l的解析式为：y=，

当直线与圆相切时，有=3，

解得：b=，

∴当0＜b时，直线与圆相离；

当b=时，直线与圆相切；当b＜3时，直线与圆相交．

【解析】（1）设直线l的解析式为：y=kx+b，将点C（-2，0）、D（0，3）的坐标代入求出k，b的值即可；

（2）直线CE与⊙A有相交、相切和相离3种位置关系，然后分别求出对应情况下的b的取值范围即可．

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例6

【题干】如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，若∠CED＝x°，∠ECD＝y°，⊙B的半径为R，则DE的长度是（

）

90yR90xRA．

B．

9090C．180xR180

D．180yR180

【答案】B 【解析】：由切线长定理，知：PE＝PD＝PC，设∠PEC＝z°

所以，∠PED＝∠PDE＝（x＋z）°，∠PCE＝∠PEC＝z°，

∠PDC＝∠PCD＝（y＋z）°，

∠DPE＝（180－2x－2z）°，∠DPC＝（180－2y－2z）°，

在△PEC中，2z°＋（180－2x－2z）°＋（180－2y－2z）°＝180°，

化简，得：z＝（90－x－y）°，

在四边形PEBD中，∠EBD＝（180°－∠DPE）＝180°－（180－2x－2z）°＝（2x＋2z）°＝（2x＋180－2x－2y）＝（180－2y）°，

所以，弧DE的长为：

(1802y)R90yR＝

90180

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例7

【题干】如图1，圆O1与圆O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与圆O1交于点C，与圆O2交于点D．经过点B的直线EF与圆O1交于点E，与圆O2交于点F．

（1）求证：CE∥DF；

（2）在图1中，若CD和EF可以分别绕点A和点B转动，当点C与点E重合时（如图2），过点E作直线MN∥DF，试判断直线MN与圆O1的位置关系，并证明你的结论．

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【答案】（1）证明：连接AB；

∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，

∴∠BAD=∠E．

又∵四边形ADFB是⊙O2的内接四边形，

∴∠BAD+∠F=180°．

∴∠E+∠F=180°．

∴CE∥DF．

（2）【解析】

MN与⊙O1相切，

过E作⊙O1的直径EH，连接AH和AB；

∵MN∥DF，

∴∠MEA=∠D．

又∵∠D=∠ABE，∠ABE=∠AHE，

∴∠MEA=∠AHE．

∵EH为⊙O1的直径，

∴∠EAH=90°．

∴∠AHE+∠AEH=90°．

∴∠MEA+∠AEH=90°．

又∵EH为⊙O1的直径，

∴MN为⊙O1的切线．12

【解析】（1）只需连接AB，利用“圆的内接四边形的外角等于内对角”证明∠E+∠F=180°，从而证明CE∥DF；

（2）作辅助线：构造直径所对的圆周角是90°．利用平行线的性质求出∠ABE=∠AHE，根据“圆的内接四边形的外角等于内对角”得出∠D=∠ABE，所以得到∠MEA=∠AHE，∠MEA+∠AEH=90°，利用切线的判定定理，可知MN为⊙O1的切线．

例8

【题干】如图，以点O′（1，1）为圆心，OO′为半径画圆，判断点P（-1，1），点Q（1，0），点R（2，2）和⊙O′的位置关系．

【答案】∵OO′=r==，O′P==2

同理可得：O′Q=1，O′R=∴O′P＞r，点P在⊙O′外；

O′Q＜r，点Q在⊙O′内；

O′R=r，点R在⊙O′上．

【解析】点与圆的位置关系由三种：设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．

，

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例9

【题干】已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．

【答案】证明：连接OD．

∵

OA=OD，∴∠1=∠2．

∵

AD∥OC，

∴∠1=∠3，∠2=∠4．

因此

∠3=∠4．

又∵

OB=OD，OC=OC，

∴

△OBC≌△ODC．

∴∠OBC=∠ODC．

∵BC是⊙O的切线，

∴∠OBC=90°，

∴∠ODC=90°．

∴

DC是⊙O的切线．

【解析】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．

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例10

【题干】如图，将直角梯形ABCD置于直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，点D和坐标原点O重合．已知：BC∥AD，BC=2，AD=AB=5，M（7，1），点P从点M出发，以每秒2个单位长度的速度水平向左平移，同时点Q从点A沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，设移动时间为t秒．

（1）直接写出点Q和点P的坐标（用t的代数式表示）．

（2）以点P为圆心，t个单位长度为半径画圆．

①当⊙P与直线AB第一次相切时，求出点P坐标，并判断此时⊙P与x轴的位置关系，并说明理由．

②设⊙P与直线MP交于E、F（E左F右）两点，当△QEF为直角三角形时，求t的值．

【答案】（1）点P（7-2t，1），Q（5-t，t）；

（2）①当⊙P与直线AB第一次相切时，则点P到直线AB的距离（7-2t-5+t）=t，

解得t=，

则点P（，1），

此时⊙P与x轴相离；

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②根据题意，得E（7-3t，1），F（7-t，1）．

要使△QEF为直角三角形，

①若EF是斜边：

根据勾股定理，得（2-t）2+2（1-t）2+（2-t）2=4t2，

解得t=．

②若QE是斜边：（-4）2+4t2=（t-4）2，解得t=；

③若QF是斜边：4t2+（-4）2=（-4）2，解得t=5．

【解析】（1）点P的纵坐标是1，横坐标即为点M的横坐标减去运动的路程；点Q的坐标运用解直角三角形的知识求解；

（2）①根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于半径可以求得t的值，再进一步判断此时⊙P与x轴的位置关系；

②分别表示点E和点F的坐标，根据勾股定理的逆定理求解即可．

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课程小结

1、本节课我们学习了点、直线与圆的位置关系，当我们判断直线与圆的位置关系时，应该用数量关系（圆心到直线的距离）来体现，即上面讲解的圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，从而断定是哪种关系。

2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心连线平分两条切线的夹角。

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