正弦、余弦、正切函数的简单应用教案和学案内容

28.1 锐角三角函数的应用—探究tan15°教学设计

城厢区霞林学校 黄丽娟

本节内容是在学生已经学习了

“勾股定理”等内容之后安排的，是高中数学中学习解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程等知识的基础。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，掌握锐角三角函数的相关知识都是今后进行深入学习的重要准备。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解教材分析

直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。本节课教科书借助于学生熟悉的两种三角尺研究特殊角的正切值。教科书把求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反方向的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系。同时渗透函数思想。

学生对三角函的概念从没接触过，特别是直角三角形中角的锐角的变化引起相应边比值的变化感到难理解。通过前两节课对锐角三角函数的正弦、余弦、正切的学习，对探究方式有基本的认识，学情分析

所以本节课上学生再进一步对正弦、余弦、正切函数的特殊锐角的三角函数值的探讨就会有初步的思想准备，在学习和理解上比较容易一些。

熟练理解正弦、余弦和正切的定义，熟记特殊锐角的正弦、知识与

余弦、正切值；掌握根据锐角的正弦、余弦、正切值及直能力

角三角形的一边求tan15°的方法。正确掌握锐角三角函数的变化规律。

教学目标

过程与

通过对tan15°的求值及意义的探索过程，培养学生观察方法

分析、类比归纳的探究问题的能力。

情感态度使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，同时培养学生与价值观

的合作精神。

教学重难点

重点

难点

运用特殊角间的运算关系对tan15°的探讨。

正确理解与掌握特殊锐角的正弦、余弦、正切值，从而获得tan15°的值。

多媒体进行辅助教学，既直观、生动地反映图形变化，增强教学的教学设备

形象性，又丰富课堂的内容，以利于突出重点、分散难点，更好地提高课堂效率

教学策略让学生学会学习，活跃学生思维，激发兴趣。通过回顾旧知，与设计说让学生用类比的方法学习求tan15°。通过自主学习

，理解记忆三明

角函数定义，为理解直角三角形中边与角的关系打下基础。故教学中应注意以下几点：

1．突出学数学、用数学的意识与过程。三角函数的应用尽量和实际问题联系起来。

2．在呈现方式上，突出实践性与研究性，三角函数的意义要通过问题给出，•再加以探索认识。

3．对实际问题，注意联系生活实际。

4．适度增加训练学生逻辑思维的习题，减少机械操作性习题，•增加探索性问题的比重。

教学过程

教学环节

教师活动

创设情境

学生活动

设计意图

大家手上都有一副三角板，用摆算三角板这副三角板，用这副三角板你能让学生易于得到哪些角？

发现15°的温故引新

回答教师出示由来，为后面一个直角三角形中，锐角的正的提问。归纳出构造15°的弦、余弦、正切是怎么定义的？

获得的角度是角打下铺垫。

创设情境

你接触到哪些特殊角的三角15°角的整数回顾三角函

函数：

数定义，在理倍。

温故引新

30°

45°

60°

解中记忆。为

被随机抽取到

sinA

的同学起来回理解直角三cosA

答相应的问题。

角形中边角tanA

的关系打下

图示法：

基础,锻炼语言叙述能力，暴露学生学习。

学生自己动手尝试，再组内交活动一

流，汇报成果，利用手上的三角板，你能构造出并归纳总结。

组织交流

15°的角吗？你会怎么构造？

活动二

释疑解惑

已知，如图，在Rt △ABC中

， 学生先小组内

∠C=90°，

∠ABC=30°,AC=1,添讨论，再请一位加适当的辅助线，求出tan15°的同学上台，利用值。 老师提供的道具，直接写出辅有了前面三角板的摆算，学生有了一定的基础，引导学生去归纳。

引导由特殊到一般的数学探索方法，增强直角三角形的特性

（本环节是本节课的重点及难点，需要时间上的保证）

助线，在展示环节利用希沃拍照，让本组的一个代表到台上给大家展示思维过程。

多种方法展示，发散学生的思维。

解锐角三角函数。

组内以好带差，在友好交流的气氛中，培养学生分析问题、解决问题的能力。

进一步提升中考真题

学生的实际（2015年漳州中考第24题）应用：应用能力，深如图，某电视塔建在一座小山上，入培养学生山高BC为30米，在地平面上有分析问题、解一点A，测得A，C两点间距离为决问题的能学生在导学案60米，从A测得电视塔的视角（

力。

计算。同时拍照检测反馈 ∠CAD）为45°，求这座电视塔

纠正不足，规上传一位学生CD的高度；

范解题格式。的作品让她上同时寻找运台讲解

用定义及特殊值解决计算问题时应注意的问题。为以后做题

做准备。

中考改编

延伸拓展

延伸：如图，△ABC中，∠C=90°，老师分析，学生参与思考、讨∠B=15°，D是BC上一点，BD=AD，论。

则有∠ADC=30°，请你结合图形

运用三角函数意义证明：tan30°

。

2tan15= ；

2。1-tan15

如果时间不允许的情况就把拓展：小华猜想，对于锐角2α，延伸拓展当作2tanα课外思考题。

可能有tan2α= 成2立．老师说，小华的猜想是正确1-tanα进一步加深对三角函数

的理解，同时为利用特殊边角关系进行计算打下基础。

加强教学反思，将知识进行系统整理，总结方法，形成技能，提高学生的学习效果

的．请你用类似的方法，通过构等腰三角形和直角三角形，利用锐角三角函数的意义，证明

tan2α

2tanα= ．

21-tanα归纳总结

1.学生回答，通过这节课的学习，你学到了什么？

2.

学生回答。在这节课上你有什么困惑？

1.巩固练习：通过“晓黑板”，观看课堂实录，进行复习，完成推送的思考布置作业

题。

2.分层作业：上网搜索求tan15°的其他求法。

板 书 设 计

28.1 锐角三角函数的应用

-- 探究tan15° 一.知识回顾 学生作品展示

二.探究tan15°

三. 应用

教 学 反 思

这节课我以老师引导，学生自主合作为主，达到了教学目标。在课堂上教师始终关注学生的学习过程，引领学生逐步完成学习任务。在学习过程中，能及时发现学生学习过程中的问题，艺术化的处理好。对这节课我基本满意。

这节课我用了小组合作探究。一次是研究15°的构造，学生利用前面在直角三角板的摆算中，一般能构造出15°=45°-30°=60°-45°等，这是本节课的重点之一；另一次是求tan15°，结合直角三角形中所对的边等于斜边的一半和有单位1表示30°所对的边，在用勾股定理求出其余的边。由于难度稍大，通过学生组内交流，使问题的解决能进行下去，不会的同学有人关注，有人帮助，会的同学通过展示，感到自豪。特别是求15°这个特殊角的三角函数值的探索方法，给学生深入引导，提高了思维，在共同的交流中，学生能感觉到哪里不会，哪里需要帮助。针对共性的问题，教师点拨帮助。我感觉小组合作交流，共同学习，使课堂有一个很好的学习氛围，效果很好。

通过学生思考过的知识，理解、记忆、使用都比较好。学生能读懂，学会的知识，就少讲;学生感觉到有困难的地方，小组交流，必要的时候老师点拨。学

生需要的时候，讲解最好。

本节课也有不足的地方，组内的合作学习，有时候忽视个体差异，多媒体使用不足。课下和个别学生多交谈弥补。多媒体的手段使用不足。

如果以后再上这堂课，我会让学生多说，把自己的学习中的问题暴露出来，形成一个良性互动，在交流中探讨，在思考中学习。