2.基本不等式名师教学视频（文字实录）

第二节

基本不等式

本节主要包括2个知识点：

1.利用基本不等式求最值；

突破点(一)

利用基本不等式求最值

基础联通

抓主干知识的“源”与“流”

1．基本不等式ab≤a＋b

2基本不等式的综合问题.

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式

小)

1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；ba2a＋b≥2，ab>0；2当且仅当a＝b时

a＋b3ab≤，a，b∈R；等号成立.2a＋ba＋b4≥22，a，b∈R2223．算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则：

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最p2(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 4考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”

通过拼凑法利用基本不等式求最值

[例1]

(1)已知0

)

1A.

3132

B.

C.

D.

24351(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．

44x－5x＋1－x23[解析]

(1)∵0

2151(2)因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－5－4x＋5－4x＋3≤－2＋344x－5＝1. 当且仅当5－4x＝故f(x)＝4x－2＋1，即x＝1时，等号成立．

5－4x1的最大值为1. 4x－5[答案]

(1)B

(2)1

[方法技巧] 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．

通过常数代换法利用基本不等式求最值

11[例2]

已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．

abba11a＋ba＋b[解析]

∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2ababab111＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．

ab2[答案]

4

[方法技巧] 常数代换法求最值的方法步骤

ba·＝4，即ab

常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；

(4)利用基本不等式求解最值．

通过消元法利用基本不等式求最值

[例3]

已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________．

[解析]

因为xy＋2x＋y＝4，所以x＝4－y4－y.由x＝>0，得－20，则0

[答案]

26－3

[方法技巧] 通过消元法利用基本不等式求最值的方法

消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．

能力练通

抓应用体验的“得”与“失”

1.[考点二](2016·海口调研)已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则ab的最大值为(

) A．1

11

B.

C.

42

D.2

211解析：选B

∵a，b∈(0，＋∞)，∴1＝a＋b≥2ab，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时42等号成立．

2.[考点一]已知函数y＝x－4＋于(

) A．－3

B．2

C．3

D．8 解析：选C

y＝x－4＋999＝x＋1＋－5，因为x＞－1，所以x＋1＞0，＞0.x＋1x＋1x＋19(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b等x＋1

所以由基本不等式，得y＝x＋1＋9－5≥2 x＋199x＋1·－5＝1，当且仅当x＋1＝，x＋1x＋1即(x＋1)2＝9，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.

3.[考点三]已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为(

) A．2

B．4

C．6

D．8 x＋3y2解析：选C

由已知得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，令x＋3y＝t，则t＞0，且t2＋12t－108≥0，得t≥6.即x＋3y≥6. 111＋a1＋b的最小值为________．

4.[考点二]已知a>0，b>0，a＋b＝1，则ba11a＋ba＋bba1＋1＋＝1＋2＋＝5＋2＋≥5＋4＝9.当且解析：＝2＋·1＋abababab1仅当a＝b＝时，取等号．

2答案：9 5.[考点二]实数x，y满足x＋2y＝2，则3x＋9y的最小值是________．

解析：利用基本不等式可得3x＋9y＝3x＋32y≥23x·32y＝23x19y≥232＝6，当且仅当3x＝32y，即x＝1，y＝时取等号．

2答案：6

＋2y

.∵x＋2y＝2，∴3x＋