1.3 二项式定理（通用）教学设计及课堂实录

“杨辉三角”与二项式系数的性质

忻

州

李

树

花

市

第

1

中学

四

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

------李树花

一、教材背景分析

1．教材的地位和作用

《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时. 教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，

在学习了二项式定理之后，学习“杨辉三角”与二项式系数的性质，是由于二项式系数是一组特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处，同时，对后面学习随机变量及其分布作准备。本节课将在学习二项式定理的基础上进一步探讨二项式系数的有关性质及其应用。

2．学情分析

知识结构：学生已学习两个计数原理和二项式定理，再让学生课前探究“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，并从函数的角度研究二项式系数的性质.

学生分析：我校为普通学校，非重点中学，我班为理科班级，学生数学基础知识非常薄弱，自信心较差，自主探究能力较差，较不积极。

教学目标

1进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活的应用； r2.展开式中的第r1项的二项式系数Cn与第r1项的系数是不同的概念

3.通过讲述杨辉三角的来历进一步观察杨辉三角，得出其中的规律，使同学们对杨辉三角和二项式系数的性质有一个整体的把握，体会其中的函数思想

教学重点与难点

重点：二项式系数性质的探究； 难点：二项式系数性质的探究；

教学方法：启发式教学法，探索式教学法，观测法，讲授法

教学用具：多媒体

教学过程

一．复习旧知

1．二项式定理及其特例：

0n1n（1）(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)，

2

1（2）(1x)n1CnxrrCnxxn. nkk2．二项展开式的通项公式：Tk1Ckab

n3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对k的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

二．探索研究

1．“杨辉三角”的来历及规律

(ab)n展开式中的二项式系数，当n1,2,3,时，如下表所示：

(ab)1…………………………………1 1 (ab)2………………………………1 2 1 (ab)3……………………………1 3 3 1 (ab)4…………………………1 4 6 4 1 (ab)5………………………1 5 10 10 5 1 (ab)6……………………1 6 15 20 15 6 1 这个表叫做二项式系数表，也称“杨辉三角”。

问题3：观察这个表有何规律？

表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当n不大时，可以根据这个表来求二项式系数。

12n(ab)n展开式的二项式系数依次是 C0n,Cn,Cn,,Cn

从函数角度看，Ck0,1,2,,n

n可看成是以k为自变量的函数f(k)，其定义域是2．二项式系数的性质

nm1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。这一性质可直接由公式CmnCn得到。

2）增减性与最大值

Cknn(n1)(n2)(nk1)k(k1)!k1所以Ck相对于Cnn的增减情1nk1Cknk由于况

由nk1决定。由

k nk1n11k。

k2

3

可知，当kn1时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小2的，且中间项取得最大值。

因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数C

取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数C3）各二项式系数的和

12nn在二项式定理中，令ab1，则

C0nCnCnCn2。

n12nn2n、Cn12n相等，且同时取得最大值。

这就是说，(ab)n的展开式的各二项式系数的和等于2n。

123nn同时由于C0n1，上式还可以写成 CnCnCnCn21。

这是组合总数公式，表示在n个不同元素里，每次取1个、2个、…、n个元素的所有组合数的和。

三．例题分析

例1．证明在(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

n1n1n22n证明：在展开式(ab)nC0bC2bCnnaCnananb中，

123令a1,b1，得(11)nC0)nCnnCnCnCn(1n。

23213就是0(C0)(C1) ∴ C0nCnnCnnCnCnCn

即在(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数的和。

例2．已知(12x)7a0a1xa2x2（1）a1a2a7x7，求：

a7； （2）a1a3a5a7； （3）|a0||a1||a7|. 解：（1）当x1时，(12x)7(12)71，展开式右边为

a0a1a2∴a0a1a2a7

a71，

a7112，

当x0时，a01，∴a1a2（2）令x1，

a0a1a2a71 ① 令x1，a0a1a2a3a4a5a6a737 ②

137①②

得：2(a1a3a5a7)13，∴

a1a3a5a7. 27（3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正，

4

∴由（2）中①+②

得：2(a0a2a4a6)137，

137∴

a0a2a4a6， 2∴|a0||a1||a7|a0a1a2a3a4a5a6a7

(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)37

四

课堂练习：

1、在(ab)6展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项

2、若(ab)n展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，

则n=__________ 3.在(1x)10的展开式中，二项式系数最大值为_____,是第____项. 4.在(1x)11的展开式中，二项式系数最大值为 ，

系数最大项为第_____项，系数最小项为第____项.

五

总结提炼

1、二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，

2、要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，

要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。

六

布置作业：

备选例题

例3．求(2x3y)28的展开式中系数最大的是第几项？

r28rrr129r3r1C2823C282解：设展开式中第r1项的系数最大，则 r28rr

r127rr13C2823C282rr13(29r)2r223C282C2816r17即r 整理得 解得

r1552(r1)3(28r)2C3C2828∴r7 故第18项的系数最大。

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