1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学设计思路

第2课时

独立性检验的基本思想及其初步应用

1.了解两个分类变量的列联表,并用二维条形图表示,会计算K2的观测值.

2.了解独立性检验的思想,并会用独立性检验思想对两个变量之间是否有关联进行检验.

3.通过实例说明独立性检验的方法和步骤,体会独立性检验的作用.

经常上网会影响学习吗?下表为教育部对1000名中学生进行调查的结果.经常上网影响学习吗?如何判断?

不及格

及格

总计

经常上网

80

120

200

不经常上网

120

680

800

总计

200

800

1000

问题1:(1)通过上述数据经常上网的人成绩及格的比例为

,不经常上网的人成绩及格的比例为

,这个数据可以初步判断经常上网对学习成绩是有影响的,但这种说法的把握性有多大,还需要进行独立性检验才知道.

(2)独立性检验的概念

用统计量K2的大小来研究两个变量是否有关系的方法,称为独立性检验.

问题2:两个分类变量A和B的2×2列联表

一般地,假设有两个分类变量A和B,它们的可能取值分别为{A1,A2}和{B1,B2}, 其样本频数列联表(称为2×2列联表)为:

B

A

A1

A2

总计

B1

a

c

B2

b

d

总计

问题3:统计量K2的计算公式是怎样的? 若有如下列联表所示的抽样数据:

类

A

类

B

总计

类1

类2

总计

a

c

a+c

b

d

b+d

a+b

c+d

a+b+c+d

则K2=

(其中n=a+b+c+d).

问题4:根据K2判断两变量是否有关联

当K2≤2.706时,

充分的证据判定变量A、B有关联,可以认为变量A、B是

关联的; 当K2>2.706时,有

的把握判定变量A、B有关联; 当K2>3.841时,有

的把握判定变量A、B有关联; 当K2>6.635时,有

的把握判定变量A、B有关联.

1.在一次抽样调查后,经过计算得到K2=0.27.根据这一数据,我们(

).

A.有超过50%的把握认为“两事件有关”

B.认为“两事件无关”

C.有95%的把握认为“两事件有关”

D.以上说法都不正确

2.下面是一个2×2列联表:

x1

x2

总计

y1

a

22

y2

21

25

46

总计

73

47

120

b

则表中a,b的值分别为(

).

A.94,72 B.52,50 C.52,74 D.74,52 3.对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示:

心脏搭桥手术

血管清障手术

总计

又发作过

心脏病

39

29

68

未发作过

心脏病

157

167

324

总计

196

196

392

试根据上述数据计算K2=

.

比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别:

.

4.为研究某新药的疗效,给100名患者服用此药,跟踪调查后得下表中的数据:

男性患者

女性患者

总计

无效

15

6

21

有效

35

44

79

总计

50

50

100

设H0:服用此药的效果与患者的性别无关,求K2的观测值k(小数点后保留三位有效数字),并判断服用此药的效果与患者的性别是否有关.这种判断出错的可能性有多大?

独立性检验思想

某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用,把1000名注射了疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人的半年感冒记录作比较,提出假设H0:“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”,并计算出P(K2≥6.635)≈0.01,则下列说法正确的是(

).

A.这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1% B.若某人未使用该疫苗,则他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1 C.有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”

D.有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”

K2计算

某研究小组为了研究中学生的身体发育情况,在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生,将他们的身高和体重制成2×2的列联表,根据列联表的数据,可以有

%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.

偏高

不偏高

总计

超重

4

3

7

不超重

1

12

13

总计

5

15

20

独立性检验临界值表

P(K2≥k0)

k0

0.025

5.024

0.010

6.635

0.005

7.879

0.001

10.828

独立性检验随机变量值的计算公式: K2=.

独立性检验思想的运用

在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了124人,其中女性70人,男性54人.女性中有43人主要的休闲方式是看电视,另外27人主要的休闲方式是运动;男性中有21人主要的休闲方式是看电视,另外33人主要的休闲方式是运动.

(1)根据以上数据建立一个2×2列联表; (2)判断性别与休闲方式是否有关系.

在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是(

).

①若K2的观测值满足K2≥6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病;③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断出现错误.

A.①

B.①③

C.③ D.②

在调查的480名男人中有38名患有色盲,520名女人中有6名患有色盲,利用独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关.

某企业为考察生产同一种产品的甲、乙两条生产线的产品合格率,同时各抽取100件产品,检验后得到如下2×2列联表:

甲线

乙线

总计

合格

97

95

192

不合格

3

5

8

总计

100

100

200

请问甲、乙两线生产的产品合格率在多大程度上有关系?

1.利用独立性检验来考察两个分类变量X和Y是否有关系时,通过查阅下表来确定“X与Y有关系”的可信程度.

P(K2≥k0)

k0

P(K2≥k0)

k0

0.50

0.455

0.05

3.841

0.40

0.708

0.25

1.323

0.010

6.635

0.15

2.072

0.005

7.879

0.10

2.706

0.001

10.828

0.025

5.024

如果K2≥5.024,那么就有把握认为“X与Y有关系”的百分比为(

).

A.25% B.75% C.2.5% D.97.5% 2.当K2>3.841时,认为事件A与事件B(

).

A.有95%的把握有关

B.有99%的把握有关

C.没有理由说它们有关

查结果如下表所示.

旧设备

新设备

杂质高

杂质低

37

22

121

202

D.不确定

3.冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备,为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系,调

根据以上数据,则含杂质的高低与设备改造

(填有关或无关).

4.吃零食是中学生中普遍存在的现象,吃零食对学生身体发育有诸多不利影响,影响学生的健康成长.下表是性别与吃零食的2×2列联表:

喜欢吃零食

不喜欢吃零食

总计

男

5

40

45

女

12

28

40

总计

17

68

85

请问喜欢吃零食与性别是否有关?

某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率; (2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.

考题变式(我来改编):

第2课时

独立性检验的基本思想及其初步应用

知识体系梳理

问题1:(1)60%

85% 问题2:a+b c+d a+c b+d a+b+c+d

问题3:

问题4:没有

没有

90%

95%

99% 基础学习交流

1.B

K2=0.27<0.455,∴认为两事件无关.

2.C

∵a+21=73,∴a=52.又a+22=b,∴b=74.

3.1.78

不能做出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论

提出假设H0:两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别.根据列联表中的数据,可以求得K2=≈1.78.当H0成立时,K2≈1.78,而K2<2.072的概率为0.85.所以,不能否定假设H0,也就是不能做出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论.

4.解:由公式计算得K2的观测值k≈4.882,∵k>3.841,∴我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关,从而有5%的可能性出错.

重点难点探究

探究一:【解析】由P(K2≥6.635)≈0.01可得1-0.01=99%,即有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”,故选D.

【答案】D 【小结】本题考查了独立性检验问题,用K2的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0:如果算出K2的值较大,就拒绝H0也就是拒绝“事件A与事件B无关”,从而认为它们有关.

探究二【解析】:由已知条件可得K2=的把握认为该学校15至16周岁男生的身高和体重之间有关系.

≈5.93>5.024,所以可以有1-0.025=97.5%【答案】97.5 【小结】独立性检验要注意两个重要的量:K2统计量和临界值,所以在解题时,应注意准确代入与计算,不可错用公式,只有准确计算K2,通过表格观察临界值及明确统计判断的原则,才能正确地处理独立性检验的问题.

探究三:【解析】(1)2×2列联表如下:

休闲方式

看电视

运动

总计

性别

女

43

27

70

男

21

33

54

总计

64

60

124

(2)计算K2=≈6.201.∵6.635>K2≥3.841,∴有95%的人认为“休闲方式与性别有关”.

[问题]上述结论正确吗? [结论]不正确.本题结论中,检验的结果应为“有95%的把握认为休闲方式与性别有关”,而不是“有95%的人认为休闲方式与性别有关”.

【小结】利用K2判断可能性,是判断两个变量有关系的可能性大小,而不是具体到多少人认为有无关系,这点要注意.

思维拓展应用

应用一:C

①推断在100个吸烟的人中必有99人患有肺病,说法错误,排除A,B,③正确.

应用二:根据题目所给的数据做出如下的列联表:

色盲

不色盲

总计

男

女

总计

38

6

44

442

514

956

480

520

1000

根据列联表所给的数据可以有:a=38,b=442,c=6,d=514,a+b=480,c+d=520,a+c=44,b+d=956,n=1000, ∴K2==≈27.1.

∵27.1>10.828,∴我们有99.9%的把握认为患色盲与性别有关系.

应用三:根据已知数据求得

K2=≈0.521<0.708, 因此没有充分的证据显示甲、乙两线生产的产品合格率有关系.

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1.D

k0=5.024对应的0.025是“X与Y有关系”不可信的程度,因此两个分类变量有关系的可信程度约为97.5%.选D.

2.A

当K2>3.841,即有95%的把握认为“x与y有关系”,故选A.

3.有关

由已知数据得到如下2×2列联表:

杂质高

杂质低

总计

旧设备

37

121

158

新设备

22

202

224

总计

59

323

382

由公式K2=造是有关的.

4.解:K2=, ≈4.722>3.841.

≈13.11,由于13.11>10.828,故有99.9%的把握认为含杂质的高低与设备改把相关数据代入公式,得K2=因此,在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可以认为“喜欢吃零食与性别有关”.

全新视角拓展

解:(1)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名.

所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有60×0.05=3(人), 记为A1,A2,A3;25周岁以下组工人有40×0.05=2(人),记为B1,B2.

从中随机抽取2名工人,所有的可能结果共有10种,它们是:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).

其中,至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率P=.

(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25=15(人),“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375=15(人),据此可得2×2列联表如下:

生产能手

非生产能手

总计

25周岁以上组

25周岁以下组

总计

15

15

30

45

25

70

60

40

100

所以得K2===≈1.79.

因为1.79<2.706, 所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.