二 综合法与分析法优秀教案

综合法与分析法

一、教学目标

1、知识目标：

（1）结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；

（2）通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点；

2、能力目标：

学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高严谨的态度能力。

3、情感、态度与价值观目标：

（3）增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。

二、教学重点.难点

教学重点：分析法和综合法的思考过程；

教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点．

三、学情分析

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

四、教学方法

启发发现法、课堂讨论法。

教具：多媒体、黑板、圆规、三角板。

五、教学过程

教学过程：

探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。

例如：已知a,b>0,求证a(bc)b(ca)4abc

证明:因为bc2bc,a0，

所以a(bc)2abc。

因为ca2ac,b0，

2222222222

所以b(c2a2)2abc。

因此

a(b2c2)b(c2a2)4abc。

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。

探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论

Q 出发，反推回去，寻求保证

Q 成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，……

直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

例如：基本不等式

要证

abab

（a>0，b>0）的证明就用了上述方法。

2abab，

2只需证

ab2ab，

只需证

ab2ab0，

只需证

(ab)20

由于(ab)20显然成立，因此原不等式成立。

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。

用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：

PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

分析法可表示为：QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

分析法的特点是：执果索因

知识应用，深化理解

例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,

a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形. 证明：由

A, B, C成等差数列，有

2B=A + C ．

①

因为A,B,C为△ABC的内角，所以

A + B + C=．

②

由①②

，得

B=．

③

32由a, b，c成等比数列，有

bac．

④

由余弦定理及③，可得

b2a2c22accosBa2c2ac．

再由④，得

acacac．

即

(ac)20，

因此

ac．

从而

A=C．

由②③⑤，得

A=B=C=所以△ABC为等边三角形．

例2、求证3725。

分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。

证明：因为37和25都是正数，所以为了证明

22．

33725，

只需明 (37)2(25)2，

展开得 1022120，

只需证 215，

因为2125成立，所以

(37)2(25)2 成立。

在本例中，如果我们从“21〈25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。

事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立．

六、当堂检测

1、已知p:ab0;q:‘‘‘‘ba2,，则(

)

abA．P是q的充分而不必要条件

B．P是q的必要而不充分条件

C．P是q的充要条件

D．P是q的既不充分也不必要条件

2、命题：函数f(x)xxlnx在区间（0，1）上是增函数“的证明过程”对函数f(x)xxlnx求导得f/(x)xlnx,当x∈（0，1）时，f/(x)lnx0,故函数f(x)在区间（0，1）上是增函数：应用了

的证明方法. 3、ABC在平面外，AB=P,BCQ,ACR.求证：P,Q,R三点共线. 4、求证：3725. 七、课堂小结

1.知识建构

2.能力提高

3.课堂体验

九、课后作业

教材：练习。