1.3 二项式定理（通用）教案3

选修2-3 2.2.2二项式定理

授课时间：2018年5月23日

授课教师：詹景星

授课班级：高二（25）班

一、教学目标：

1、知识与技能：

能解决二项展开式有关的简单问题，进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式。

2、过程与方法：

教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

3、情感态度与价值观：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神。

二、学情分析：

学生在选修2-3前面章节已经学习了两个计数原理和排列数与组合式公式，懂得用分类和分步的方法分析问题，并用两个公式作为计数工具解决问题。在此基础上学习二项式定理具备了基本的能力，并且又可以巩固和深化学生对于之前的知识的理解和掌握。

三、内容分析：

二项式定理是排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。二项式展开式与多项式乘法页有着密切的联系。

四、教学重点及难点：

1、教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用；

2、教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用；

五、教学设计：

（一）温故知新

1、思考:

(ab)ab

(ab)a2abb

(ab)?

1

32221

(ab)4?

(ab)n?

2、分析:

(a+b)2是2个(a+b)相乘，即(a+b)2= (a+b)* (a+b)= (a + b)* (a + b)=aa+ab+ba+bb

每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项。由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a+b)2的展开式共有2*2=22项，而且每一项a,b次数和都是2且每一项都是a2kbk的形式。

展开后其项的形式为：a2

，

ab ，

b2

这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b：

每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20

恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21

恰有2个取b的情况有C22

种，则b2前的系数为C22

(a+b)2 = a2 +2ab+b2

＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2

(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3

（二）探究发现：(a+b)4＝

(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？

1、问题设置：

（1）(a+b)4展开后各项形式分别是什么？

a4

a3b

a2b2

ab3

b4

（2）各项前的系数代表着什么？

提问并引导学生回答：各项前的系数

代表着这些项在展开式中出现的次数

（3）你能分析说明各项前的系数吗？

(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)

项：a4

a3b

a2b2

ab3

b4

都

取

取

取

取

不

1

2

3

4

取

个

个

个

个

b

b

b

b

b

01234系数：C4

C4

C4

C4

C4

2、猜想：（1）(ab)?

（2）(ab)?

(ab)（ ）a（ ）annn15nb2

（ ）ankbk（ ）bn

0n1n1

(ab)nCnaCnabknkkCnabnnCnb(nN)

3、证明：

(a+b)n是n个(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时有两种选择选a或选b,而且每个(a+b)中的a或b都选定才能得到展开的一项。在合并同类项之前,由分步乘法计数原理,(a+b)n的展开式共有2n项,而且每一项的形式都是an-kbk(k=0，1，2，…，n)的形式。

对于某个k (k∈{1，2，…，n })，对应的项an-kbk是由n-k个（a+b）中选a，k个（a+b）中选b得到的。由于b选定后,a的选法也随之确定，因此, an-kbk出现的次数相当于从n个(a+b)kk中取k个b的组合数Cn。这样,(a+b)n的展开式中，ankbk共有Cn个，将它们合并同类项，0n1n1就得到二项展开式: (ab)nCnaCnabknkkCnabnnCnb。

（三）归纳新知：

0n1n1（1）二项式定理：(ab)nCnaCnabknkkCnabnnCnb(nN)

knkkknkk

其中，我们将展开式中的第k1项Cn记为Tr1Cnab叫做展开式的通项，ab

22（2）定理延伸：当a1,bx时，(1+x)n=1+C1nx+Cnx+02

当x1时，2n=Cn+C1+Cnn+rr+Cnx+nn+Cnx

+Crn++Cnn

（四）应用巩固

例1、求(12x)5的展开式。

01234455解：（12x)5C5(2x)0C5(2x)1C5(2x)2C5(2x)3C（52x)C5(2x)

2345

110x40x80x80x32x

变式：求(12x)5展开式第三项以及其二项式系数，求x3项的系数

22解：T3C5(2x)240x2

二项式系数为C510

x3项T4C53(2x)3-80x

3

x的系数为-80

练习：1、展开(2x316)．

x 解：(2x161)3(2x1)6

xx16152433221[(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)1]

66666x33



32

64x192x240x16060121．

xx2x32、求(xa)12的展开式中的倒数第4项

解：(xa)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339T91C12xaC12xa220x3a9．

例2、求(x339)的展开式常数项；

xr939rx9r3rr2r9解：∵Tr1C()()C93x2，

3x∴当936r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C9332268；

2变式:若二项式(x33n)的展开式中存在常数项,则自然数n的最小值为

;

x练习：求(x339)的展开式的中间两项。

xx39()的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

3xT5C34989x91294253，T6C93109x2378x3

x156例3、求(x2)的展开式中的第4项。

1x

变式：求多项式(x2y1)(2x3y)的展开式中xy项的系数。

（五）小结

1.知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式及展开式的通项、二项式系数与系数的概念；

2.方法收获：正确区分“项的系数”和“二项式系数”；

3.思维收获：归纳推理并证明的思想：观察——归纳——猜想——证明。

（六）作业

1.书本

3223六、教学评价：

本节课在教学中，采用“问题—探究—总结”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、4

探索规律、总结规律、应用规律四个阶段，让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造的过程。

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项式展开式的推导作铺垫。

总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，重视学生的参与过程，问题引导，师生互动。重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯。

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