3.2.2 复数代数形式的乘除运算名师教学视频（文字实录）

§3.2.2 复数的乘法和除法

【学情分析】：

学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一部分,在建立复数运算是,应当遵循的一个原则是作为复数的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应当是一致的. 在学习了复数的加减法之后，学生对复数的乘除法以及其与实数乘除法的区别的好奇心自然也呼之欲出。.

【教学目标】：

（1）知识目标：

能进行复数代数形式的乘除运算.

（2）过程与方法目标：

从实数的乘除运算及其运算律出发，对比引出复数的的乘除法定义及其运算律，通过zz|z|2实现实数与虚数的转化，培养学生转化的思想。

（3）情感与能力目标：

通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识。

【教学重点】：

i的运算和分母实数化。

【教学难点】：

复数除法中的分母实数化。

【课前准备】：

powerpoint课件

【教学过程设计】：

教学环节

教学活动

221．根据虚数单位i的定义, i满足方程x1,即i1,ii1,那2设计意图

通过虚数单位的定提出问题，通过实数运算的对比引出复数乘除法的定义。

一、复习引入

么(2i)(i)呢,(1i)呢？

2．实数与实数相乘除得到的仍是实数，实数的乘除满足交换律、结合律，乘法对加法的分配律，复数的乘除还满足这些运算律吗？两个虚数相乘能得到实数吗？

1．复数的乘法：

①设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)，规定

二、讲授新课

（１）复数的乘法运算

z1z2(abi)(cdi)acadibcibdi2(acbd)(adbc)i。

②复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，即对任意复数z1,z2,z3有

z1z2z2z1(z1z2)z3z1(z2z3)z1(z2z3)z1z2z1z3③实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对复数z,z1,z2和自然数n,m有：

zmznzmn(zm)nzmn(z1z2)nz1nz2n④i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1(nZ)

（２）复数的除法运算

２．复数的除法

①已知复数zabi，z'

1'叫做z的倒数。它满足zz1

z

z'1abiabiabi2

22222abi(abi)(abi)ababab

显然z'1z2

z|z|

②设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)，规定

z1abi1cdi(abi)()(abi)(2)=z2cdicdicd2(acbd)(bcad)iacbdbcad2i

c2d2cd2c2d2

三、运用新知

，

体验成功

练习1：

①．

及时运用新知识，巩固练习，让学生体验成功，为了使学生实现从掌握知识到运用知识的转化，使知识教育与能力培养结合起来，设计分层练习

计算：

1.(1i)2;2.(1i)2;3.[（32i)i];4.i23,i352,i1000,i2007②．

③．

2

13若i,求2和12

22计算：

1.2i;74i12.;i

13.;1i(1i)84.(1i)8解：①2i，2i，762i，i，1，1，i

②③

四、师生互动，继续探究

例1.

13i，0 2218111i，i，i，1 656522求证：

让学生进行复数乘除

法运算，并得到一些复(1)zz|z|2|z|2(2)z(z)解：22(3)z1z2z1z222数运算结(1)设zabi,则zabi，于是zz(abi)(abi)a2abibaibia2b2|z|2

论。

(2)设zabi,则z2(abi)2a2b22abi(z)(abi)ab2abi于是z(z)222222

(3)设z1abi,z2cdi,则z1z2(acbd)(adbc)i(acbd)(ad

bc)iz1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i于是z1z2z1z2

分析：（1）表明，两个共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方。

xy5,求x,y的值。

1i12i13ixy5解：可写1i12i13ix(1i)y(12i)5(13i),即5x(1i)2y(12i)515i2510例2．已知x,yR,且成，即

5x2y5x1。

(5x2y)(5x4y)i515i,,5x4y15y5分析：在进行复数除法运算时，通常把(abi)(cdi)写成

abi,再通过分母实数化进行化简整理．

cdi例３．设z1,z2为非零复数，问A,BAz1z2z2z1,Bz1z1z2z2，能否比较大小？若能，请指出他们的大小关系．

解：设

z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),则Az1z2z1z2(abi)(cdi)(abi)(cdi)2(a

Bz1z1z2z2a2b2c2d2R，由于A,B都是实数，所以可以比较大小，又BAa2b2c2d22(acbd)(ac)2(bd)20,所以AB,当且仅当ac,bd时，即z1z2时，取等号。

分析：复数比较大小，则复数必须是实数，zz为实数．

五、分层练习，巩固提高

探究活动：

练习2 ：

①设复数zabi满足z34i,求z．

②已知z112i,z234i,求满足2通过多角度的练习，并对典型错误进行讨论与矫正，使学111的复数z．

zz1z2③已知z,w为复数，(13i)z为纯虚数，wz且|w|52，求生巩固所学2i内容，同时w

解：①z2i或z2i

3②z2i

2③7i或7i。

六、概括梳理，形成系统

（小结）

采取师生互动的形式完成。

即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目标的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。

完成对新知的迁移。

采取师生互动的形式完成。

七、布置作业

1、

课后作业。

2、设计题可根据自己的喜好和学有余力的同学完成。

23

1．若复数z满足方程z20，则z（

）

A.22

B. 22

C. 22 i

D. 22

i

解：Ｄ

(1i)102．复数等于（

）

16(1i)A．1i

B。1i

C。

1i

D。

1i

解：Ｄ

3．i是虚数单位，i（

）

1i11111111A．i

B．i

C．i

D．i

22222222解：Ａ

4．已知z213i,求1zz2z2003的值。

解：1zz所以原式＝0。

2z20031(1z2004)13i＝，又z,z31,z2004(z3)6681，1z223i22004(48i)2(48i)25．计算：

()123i1i117i解：i1。

6．已知z的模

ai3,(a0),复数wz(zi)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数w1i2a1(a1)ia1a2a,wz(zi)i，

解：z222a2aa1393,a24,a2，a0,a2,|w|95。

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