复习参考题优秀教学设计

《一元二次不等式的解法（3）》教学设计

一、教学内容解析

1．教材内容及地位

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书必修5(A版)》第76-81页的第三章第2节一元二次不等式及其解法的第三课时。本节课是一元二次不等式的综合应用，主要是含参不等式的恒成立及根的分布问题。

本节课的学习是对前面一元二次不等式的解法的拓展延伸，也是在学习了一元二次不等式的简单解法以后的一个综合应用，这块内容也是跟高中其他知识点的交汇点，着重与数学分类讨论、数形结合，划归等思想的灵活整合。

2．教学重点

一元二次不等式、二次方程、二次函数这三个“二次”的综合应用

3．教学难点

含参数的二次不等式恒成立的转化及处理方法

二、学生学情分析

1．学生最近知识发展区

（1）不等关系与不等式

学生已经学习了“不等关系与不等式”、“不等式的基本性质”，对简单的一些不等关系的性质已经有所了解，也对数学中存在的大量的不等关系也有所认知。这为之后的学习奠定了理论依据和不等关系的理解和运算基础。

（2）一元二次不等式的简单解法

在这节课时之前，学生已经学习了一元二次不等式的简单解法以及运用二次不等式与二次函数、二次方程的关系解决实际运用问题。对于三个“二次”之间的转化和数形结合已经有了一定的体会，这将有助于学生在本节课学习中利用数学分类讨论、数形结合、划归等思想综合处理问题。

2．学生能力储备

学生在初中学习中对一元一次不等式组、二次函数的图像以及二次方程已经有了深刻的学习，但对于一元二次不等式与图像及方程综合结合解题的方法和思想不是很习惯熟练。前两节课已经学会利用图象解二次不等式以及简单含参问题的分类讨论有所了解。但是对于含有多个变量的不等问题的处理的能力还是不足，不会对其题意进行转化、不会利用数形综合

1

分析。

三、确立学习目标

结合以上对本节课的教学内容及学生学情的分析，特确立本节课如下学习目标：

1．通过对一个具体含参不等式的实例的分析，进一步了解“三个二次”的关系，回顾解二次不等式的通法，明确参数在解题过程中的作用；

2．通过对具体例子的多种变式训练及深入探究，体验在解决数学问题时的化归思想、数形结合思想的重要作用；

3．通过对本节课的学习，会解决一些简单地化归为二次不等式有关函数的恒成立或存在性问题，并初步掌握同类问题的方法和技巧；

四、教学策略分析

通过以上对本节教学内容的重难点、学生学情的分析，以及所要达成的学习目标，特对本节课的教学作如下安排：

1．以简单含参二次不等式的具体实例进行引入，加深学生利用函数图像解二次不等式的解法理解，同时引导学生对参数的分类讨论、利用数形结合思想解题；

2．根据学生的认知规律，通过对变式及思考，将解不等式问题层层上升、梯级拓展。进而对二次不等式的恒成立问题的化归思想的应用、利用数形结合解题、变参分离的处理方式、主次变量的正确选取等方法有一定的了解；

3．对于本节课中重难点的处理，主要采取“学生探究（小组合作）——过程讨论——成果展示——教师总结”的策略，将课堂还给学生。在小组合作之前，做好情境预设，让每组的学生活动尽量有的放矢也不乏特征思维的体现，通过小组合作讨论，组织学生进行独立思考、合作探究，在过程中教师可将一些常规的思维漏洞和解题瓶颈加以指出，然后由学生代表对探究成果进行展示、分享，最后总结归纳出本节课的主要难点的处理方法；

4．最后设计对本节课主要内容、重难点的翻页回放，师生一起回顾总结，梳理本节课所学重要的知识点及思想方法，深化认知。

教学方式：合作探究，成果展示，点评归纳，层层建构。

五、设计理念

1、通过一个对实例的变式，把本节课研究的主要数学思想贯穿融汇于其中，层层递进，螺旋上升，达到预设的教学目的和学习目标。

2、为了学生尽量参与，设置了小组讨论环节，对学生进行分组合作，在学生分组中尽量做到根据学生水平梯度分组，让每一个学生都有参与的机会。

2

六、教学过程设计

（一）旧题新做，引入主线

解关于x的不等式不等式x2(a4)x42a0

师：该二次不等式是含有参数a的不等式，可因式分解为x2x2a0，根据二次不等式的解法（如下表以开口向上a>0为例），

f(x)ax2bxc0

(a0)的图像

x



ax2bxc0(a0)的解

x1xx2

b

2aax2bxc0(a0)的解

xx1或xx2





两根x12,x22a的大小未定，讨论根的大小，进而解不等式）

2ax2；

解析：1当22a即a0时，2当a0时，x2

2x2a

3当22a即a0时，【设计思路】设计问题主要是刺激学生回忆自己已有的知识和技能，回忆起含参二次不等式的解法，有意识地使学生和函数图像紧密结合解题的习惯，另外是对不等式中参数a的重要作用重视。

（二）拓展探究，层层上升

变式1：函数yx2(a4)x42a的定义域为R,求a的取值.

预设：如何将本题题意进行等价转化可能是学生思维上的不足，如何引导学生做正确的等价转化这里需做好合理的引导

师：根据题目文字叙述你可等价转化为什么数学条件？并能总结出哪些数学关系式？

生：（单独回答）

师：该题函数的简单综合，以幂函数为模型实质为二次函数特征。利用幂函数yx的定义域被开方数大于等于0，转化为x(a4)x42a0。

解析：由题意等价为x(a4)x42a0在R上恒成立，

则2212二次项系数102(a4)4(42a)0解得a0

3

【设计思路】该题以基本初等函数的基本性质和二次函数的图像特征为知识基础，培养学生解决函数综合的能力，会利用化归思想解题。

变式2：二次函数f(x)x2(a4)x42a，若不等式f(x)0的解集为A, 又Bx1x3，若AB,求实数a的取值范围. 预设：在这题的学生可能会先从解出集合A入手，进而再利集合的包含关系求a,学生很容易遗忘空集是任意集合的子集，教师应提醒学生注意思维的缜密，并在此基础上引导学生利用二次函数图像数形结合直接解题。

师：根据题意你们会直接解出利用A，再利用A包含于集合B解题。

解析：（这里解不等式过程可以省略，参照例1）

解法1：不等式x2(a4)x42a(x2)(xa2)0的两

根x12、x22a，讨论两根大小

1当22a即a0时，2ax2；且2a1则a1解得0a1; 2当a0时，x无解，符合题意，则a0; 2a2a,且2-a3则a1解得1a0

3当22a即a0时，综上所得a1,1

师：函数为二次函数，根据前面内容我们可作出二次函数图像，我们如果利用函数其图像可怎么解本题？

生: 作图思考

师：根据我们已做出的此二次函数图像，且函数f(x)(x2)(x2a)=0的两根x12、x22a，只需方程的根在区间1,3内即可，转化为二次方程根的分布。但注意空集这特殊情况。

解析：

解法2：二次函数开口向上，利用二次函数函数的图像特征，只需方程f(x)0的根（1，3）均在区间1,3内，则1A,则a0；2A,则2，所以2-a1,3，则a1,00,1综上所得a1,1

【设计思路】

设计本题的是想让学生不仅可以在常规地解决含参不等式，更主要是诱导学生正确利用函数图像、数形结合解题思想的运用。重点是引导学生，让学生体会数形结合解题的美妙与直观，进而养成数形结合的习惯

，上有两不等实根，变式3:方程log4xalog4x42a0在16求2a的取值范围

预设：学生对一元二次方程根的分布有一定的了解，但对于与其他函数结合，利用换元

4

思想可能还不是很熟练特别是对数函数是学生薄弱之处，如何启发学生将对数换元进而转变成他们熟悉的二次方程，另外学生换元之后新的元素的范围不一定会考虑到。

师：关于x的方程可用换元的思想将log4xt，则方程就等价为tat42a0在t2,有不同两解，转化为二次方程根的分布的基本题型。

解析：设log4xt，x16t2此题可等价于

方程tat42a0有两个大于等于2的不等实根，则需满足

22.0ax2解得a442

02f(2)0【设计思路】

该题主要设计是根据二次不等式是与其他知识点的融汇之处，如何将学生不熟悉的问题转化为熟悉的问题，使他们遇到问题做好等价转化，利用换元等方法将题型基本化，使问题简单化。

课后思考：

若将题中log4x改为2,或将区间改变下题目将

如何思考？

变式4：对于任意,，不等式cos2(4a)sin2a50恒成立，求a的取值范围。

预设：学生看到这个题干可能被其复杂形式所吓倒，但在变式3的基础之上，可以提示学生该题是不是也可将题意转化为简单形式，另外有些学生可能对于题目中多个变量无所适从，明确题目中自变量与参数的正确选择也是解题的关键。另外这题的解题方法也相对比较灵活，也是本节课的重点难点所在，所以可以进行小组活动，进而激发每个人的参与度。

师：将学生进行分组活动，根据学生能力可将学生四人作为一个小组，一起解决这个问题。

可以让学生让学生带着问题进行小组活动

。

问题1: 利用换元题解该选择sin还是cos更好？

问题2：若换元后转化为什么样的问题？并能如何解决

问题3：化归解决此类问题的思路是什么？

可给学生5分钟左右时间，在此过程中教师可参与每个组，发现每个组的思维漏洞或者方法

学生成果展示，教师进行点评归纳。

师：根据上题思想可先换元，将cosx,,,则x1,1，原题就等价于对于任意x1,1，不等式x(a4)x42a0恒成立，求a的取值范围。那接2x下去应该如何解决该恒成立问题？

5

师：含参恒成立问题是高中数学的一个难点，也是本节课的重难点。该题为区间恒成立问题，该题是关于x的二次不等式，求参数a的范围。一般可以转化为二次函数并利用二次函数的性质进而转化为求函数最值或者变参分离为af(x)max或af(x)min解题。

解析：先换元，将cosx,,,则x1,1，原题就等价于对于任意x1,1，不等式x2(a4)x42a0恒成立，求a的取值范围。

解法一：（利用函数性质，转化为最值求解）

可另函数f(x)x2(a4)x42a，题意等价于f(x)min0,x1,1 4a2a2)函数f(x)(x, 241当4a1即a2时，f(x)minf(1)0解得a1, 24-aa22当-11即2a6时，f(x)min0无解，

243当4-a81即a6时，f(x)minf(1)0解得a,则a无解

23综上所得a1

解法二：(利用二次函数图像特点及二次方程根的分布)

函数f(x)x2(a4)x42a(x2)(xa2)的两根为2和2a，因为二-1,1交集为空即可，则次函数开口向上，所以只需f(x)0的解集与x22a1即a1

解法三：（变参分离求参数）

x2(a4)x42a0a(2x)x24x4

x1,1,则2-x0

x24x4a1

1，2x，易得2x的最小值为则a2x课后思考：将变式4中一次项改为52a,或者将x范围变成1,3，求a的取值范围。

师：（方法小结）解决恒成立问题的方法一般有两种：

一、构造函数，转化为函数最大值大于零或最小值小于零，利用函数性质，转化为最值问题解题；

二、变参分离，弄清主次变量转化为af(x)max或af(x)min再利用函数最值解题。但两种方法殊路同归，最后就是求函数的最值。

【设计思路】

本题是本节课的重难点，含参的二次不等恒成立问题，也是常见的不等式恒成立问题。通过本题的学习让学生了解解决恒成立问题的常规方法和思维方式。

6

变式5：对于任意a1,1，不等式x2(a4)x42a0恒成立，求x的取值范围。

预设：相对较变式4，本题与上题的主要区别在于改变，应将不等式看成哪个变量的函数，哪个是参数，学生可能会发生紊乱。告诉学生提供范围的是变量，求的是参数的范围。

师：主次变量发生更改。应将a看成主变量，x看成参数，求参数x的范围。则该不等式可视作关于a的一次不等式，利用一次函数的图像特征只需f(1)0且f(1)0即可。

解析：不等式就可以看成关于a的一次函数f(a)(x2)ax24x4，

x25x60f(1)0则2解得x3或x1

f(1)0x3x20【设计思路】

本题是上次含参的二次不等恒成立问题的对应变式，在含有多个字母的不等式中，正确选择主次变量是解题的关键。

（三）回顾总结，深化认识

通过对本节课主要重难点内容的翻页回放处理，与学生一起回顾总结本节课所学知识及数学思想方法，强化学生的认知和对方法的了解。

【设计思路】通过这一环节，可及时回顾总结本节课所学内容，所接触的例题，强化印象，加深理解，将方法与对应例题一一对应。

（四）作业布置，检测巩固

1．作业：见附件

2．继续探究：两个课后思考（详见变式3、4）将课堂继续延伸

七、教学评价反思

1.本节课的是对同一题面的多种变式，达到对不等式恒成立问题的常用方法的介绍、换元划归思想的运用、数形结合解题的体会的教学目的。

2.根据学生的认知规律，变式探究，层层递进，螺旋上升，体现了泛在学习思想及新课程理念。

3.对于重难点的处理，主要是采用了先由学生进行自主、合作学习，再通过展示、交流、深入、归纳出知识的学习过程，调动了学生的积极性，激发每个学生的思维潜能，感受知识的获得过程，这比教师单纯的教授方法要更有印象更有启发，也更能培养学生发现问题、研究问题的能力与习惯。

4.在教学过程中，精心做好每一个变式，有变化有梯度，内容丰富，同时也十分关注课堂生成，在数学学习的过程中，特别注重对数学思想方法的应用，对数学本质的理解。

5.视实际教学情况，若课堂内时间不够，可将部分内容作为课外研究。

7