小结名师教学实录

基本不等式知识点总结

向量不等式：

||a||b||≤|ab|≤|a||b|

【注意】：a、

b同向或有0|ab||a||b|≥||a||b|||ab|；

a、

b反向或有0|ab||a||b|≥||a||b|||ab|；

a、

b不共线||a||b|||ab||a||b|.(这些和实数集中类似) 代数不等式：

a,b同号或有0|ab||a||b|≥|a||b||ab|；

a,b异号或有0|ab||a||b|≥|a||b||ab|. 绝对值不等式：

a1a2a3≤a1a2a3

ababab(ab0时,取等)

双向不等式：ab≤ab≤ab

（左边当ab≤0(≥0)时取得等号，右边当ab≥0(≤0)时取得等号.）

放缩不等式：

①ab0，am0，则【说明】：bmbbm. amaambbm（ab0,m0，糖水的浓度问题）.

aambbmana1. aambnb【拓展】：ab0，m0，n0，则②a,b,cR，bdbbdd，则；

acaacc1nn1；

③nN，n1n2n111112. ④nN,n1，nn1nn1nx⑤lnx≤1x(x0),e≥x1(xR).

函数f(x)axb(a、b0)图象及性质

xba、b0图象如图：

(1)函数f(x)axxyb2aba(2)函数f(x)axba、b0性质：

xo2abxba①值域：(,2ab][2ab,)；

②单调递增区间：(,

bb单调递减区间：(0,]，[,)；aabb,0). ]，[aa

基本不等式知识点总结

重要不等式

221、和积不等式：a,bRab≥2ab(当且仅当ab时取到“”)．

ab2a2b2ab2a2b2)≤)ab）

【变形】：①ab≤(（当a = b时，(2222ab2ab【注意】：ab≤)(a,bR)

(a,bR)，ab≤(22

2、均值不等式：

两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”

2ababa2b2

≤ab≤≤（当且仅当ab时取“”）11ab22ab1*.若x0，则x2

(当且仅当x1时取“=”）;

x1

若x0，则x2

(当且仅当x1时取“=”）

x2若x0，则x12即x12或x1-2

(当且仅当ab时取“=”）

xxx*.若ab0，则ab2

(当且仅当ab时取“=”）

ba若ab0，则ababab）

2即2或-2

(当且仅当ab时取“=”bababa3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：

a3b3c3≥3abc（abc0等式即可成立，abc或abc0时取等）；

abcabc3a3b3c33abc≤)≤

abc≤(

333

*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当ab0时，a2b22ab同时除以ab得baba2或11。

ababa2

*a,b,均为正数，2ab

bab2a2b2ab2a2b2)；

③()八种变式：

①ab

；

②ab(

2222114a22ab；⑥a>0,b>0,则④ab2(ab)；⑤若b>0,则；ababb221124111112)；

⑧

若ab0，则22()。

abab2abab上述八个不等式中等号成立的条件都是“ab”。

⑦若a>0,b>0,则(

最值定理

（积定和最小）

①x,y0,由xy≥2xy，若积xyP(定值)，则当xy时和xy有最小值2p；

（和定积最大）

②x,y0,由xy≥2xy，若和xyS(定值)，则当xy是积xy有最大值【推广】：已知x,yR，则有(xy)(xy)2xy. （1）若积xy是定值，则当|xy|最大时，|xy|最大；当|xy|最小时，|xy|最小. （2）若和|xy|是定值，则当|xy|最大时，|xy|最小；当|xy|最小时，|xy|最大. 12s.

422③已知a,x,b,yR，若axby1，则有则1x1的最小值为：11byax2(axby)()ab≥ab2ab (ab)

yxyxy④已知，若则和的最小值为：

. ①②

应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：

⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当

0x4时，求函的数yx(82x)最大值. 51f(x)4x2，求函数

的最大值. 44x5x27x10(x1)的值域；

⑶调整分子：例3.求函数f(x)x1⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知xaba2b2abab有几个常用变形,⑷变用公式：基本不等式，222a2b2ab2()不易想到，应重视；

2215例4.求函数y2x152x(x)的最大值；

22162⑸连用公式：例5.已知ab0，求ya的最小值；

b(ab)1lny⑹对数变换：例6.已知x,y1，且xye，求t(2x)的最大值；

2⑺三角变换：例7.已知0y≤x2，且tanx3tany，求txy的最大值；

⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知a0,b0，且a2b1，求t11的最小值. ab

“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：

⑴平方和为定值

若x2y2a（a为定值，a0），可设xacos,yasin,，其中0≤2.

①f(x,y)xy增函数，在[,

②g(x,y)xy15asinacos2asin()在[0,],[,2)上是444145]上是减函数；

411357asin2在[0,],[,],[,2)上是增函数，在244441357[,],[,]上是减函数；

4444

11xysincos.令tsincos2asin()，4xyxyasincos22其中t[2,1)(1,1)(1,2].由t12sincos，得2sincost1，从2t2而m(x,y)在[2,1)(1,1)(1,2]上是减函数. 21a(t1)a(t)t③m(x,y)

⑵和为定值

若xyb（b为定值，b0），则ybx.

①g(x,y)xyx2bx在(,]上是增函数，在[,)上是减函数；

b2b2b11xyb2.当b0时，在(,0),(0,]上是减函数，在2xyxyxbxbbb[,b),(b,)上是增函数；当b0时，在(,b),(b,]上是减函数，在[,0),(0,)上222②m(x,y)是增函数.

2222③n(x,y)xy2x2bxb在(,]上是减函数，在[,)上是增函数；

b2b2

⑶积为定值

若xyc（c为定值，c0），则y①f(x,y)xyxc.

xc.当c0时，在[c,0),(c0,上是]减函数，在x(,c],[c,)上是增函数；当c0时，在(,0),(0,)上是增函数；

②m(x,y)11xy1c(x).当c0时，在[c,0),(0,c]上是减函数，xyxycx在(,c],[c,)上是增函数；当c0时，在(,0),(0,)上是减函数；

c2c2③n(x,y)xyx2(x)2c在(,c),(0,c]上是减函数，在xx(c,0],[c,)上是增函数. 222

⑷倒数和为定值

c112111（d为定值，,,），则y.成等差数列且均不为零，可设公xxdyxyd1dd1111,y.. 差为z，其中z，则z,z,得xd1dz1dzxdyd若

2d11d0(,),(,0]上是减函数，在.当时，在221dzdd1111[0,),(,)上是增函数；当d0时，在(,),(,0]上是增函数，在dddd11[0,),(,)上减函数；

dd①f(x)xy

11d2d0(,),(,0]上是减函数，在.②g(x,y)xy.当时，在22dd1dz1111[0,),(,)上是增函数；当d0时，在(,),(,0]上是减函数，在dddd11[0,),(,)上是增函数；

dd

2d2(d2z21)③n(x,y)xy..令td2z21，其中t≥1且t2，从而222(dz1)2d2t2d2n(x,y)在[1,2)上是增函数，在(2,)上是减函数. (t2)2t44t22