小结主要内容及教案内容

统计案例

一、基础知识：

1．回归分析

回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是散点图；统计量有相关系数与相关指数．

(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．

(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．

(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系．

2．线性回归方程

(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，nn

xi－xyi－y∑＝

xiyi－nx

y^^^^^∑i＝^1i1yn)，其回归方程为y＝bx＋a，则b＝＝n，a＝y－bx.n∑＝

xi－x2∑＝

xi2－nx2i1i1^^其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距．

3．残差分析

(1)残差：对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，^^^^^i＝1,2，…，n，其估计值为ei＝yi－yi＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，ei称为相应于点(xi，yi)的残差．

^∑＝

yi－yi2i1i1n(2)相关指数：R2＝1－n. 2∑＝

yi－y4．独立性检验

(1)利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为

x1

x2

y1

a c y2

b d 总计

a＋b

c＋d

总计

2a＋c b＋d a＋b＋c＋d

nad－bc2则随机变量K＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．

a＋ba＋cb＋dc＋dP(K2≥k)

k 二、例题：

0.15

2.072

0.10

2.706

0.05

3.841

0.025

5.024

0.010

6.635

0.005

7.879

0.001 10.828 1、(教材改编)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(

) ^A.y＝0.4x＋2.3

^C.y＝－2x＋9.5 ^B.y＝2x－2.4 ^D.y＝－0.3x＋4.4 2、(2014·全国卷Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：

年

份

年份代号t 人均纯收入y 2007

1

2.9

2008

2

3.3

2009

3

3.6

2010

4

4.4

2011

5

4.8

2012

6

5.2

2013 7 5.9 (1)求y关于t的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

－－∑

ti－tyi－y^i＝1b＝－∑

ti－t2i＝1nn^－^－，a＝y－bt. －1[解]

(1)由所给数据计算得t＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，

7－1y＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，

7－∑

(ti－t)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，3分

i＝17－－∑

(ti－t)(yi－y)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋i＝172×0.9＋3×1.6＝14，

－－∑

ti－tyi－y^i＝1b＝－∑

ti－t2i＝177^－^－14＝＝0,5，a＝y－bt＝4.3－0.5×4＝2.3，

28^所求回归方程为y＝0.5t＋2.3.6分

^(2)由(1)知，b＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.9分

^将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y＝0.5×9＋2.3＝6.8，

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.12分

2、[2016·石家庄模拟]班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多．

(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；

(2)试问喜欢玩电脑游戏与认为作业多少是否有关系．

nad－bc2参考公式：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d. a＋bc＋da＋cb＋d2参考数据：

P(K2≥k0)

k0

喜欢玩

电脑游戏

不喜欢玩

电脑游戏

总计

20.050

3.841

0.010

6.635

0.001 10.828 总计

12 10 22 解

(1)根据题中所给数据，得到如下列联表：

认为作业多

10

3

13

认为作业不多

2

7

9

22×10×7－3×22(2)K＝≈6.418，

∵3.841<6.418，

12×10×13×9∴有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关．

三、作业

1、2．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x/万元

销售额y/万元

4

49

2

26

3

39

5 54 ^^^^根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(

B

) A．63.6万元

B．65.5万元

C．67.7万元 D．72.0万元

2、[2017·温州月考]为了检验某套眼保健操预防学生近视的作用，把500名做该套眼保健操的学生与另外500名未做该套眼保健操的学生的视力情况作记录并比较，提出假设H0：“这套眼保健操不能起到预防近视的作用”，利用2×2列联表计算所得的K2≈3.918.经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学得出了以下结论：

①有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”；②若某人未做该套眼保健操，那么他有95%的可能得近视；③这套眼保健操预防近视的有效率为95%；④这套眼保健操预防近视的有效率为5%. 其中所有正确结论的序号是________．答案

①

3．第31届夏季奥林匹克运动会，中国获26金，18银，26铜共70枚奖牌居奖牌榜第二，并打破3次世界记录．由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见．有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性公民中有1 560名持反对意见，2 452名女性公民中有1 200人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌数是否与中国进入体育强国有无关系时，用什么方法最有说服力(

C

) A．平均数与方差

C．独立性检验

B．回归直线方程

D．概率

4、两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是

(

A

) A．模型1的相关指数R2为0.98

B．模型2的相关指数R2为0.80 C．模型3的相关指数R2为0.50

D．模型4的相关指数R2为0.25 5、为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

男

女

总计

理科

13

7

20

文科

10

20

30

总计

23 27 50 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025. 50×13×20－10×72根据表中数据，得到K＝≈4.844. 23×27×20×302则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．5%