1.3 实习作业优质课一等奖教案

1．仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．

2．方向角

相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．

3．方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(

×

) π(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，]．(

×

) 2(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(

√

) (4)如图，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．(

√

)

1．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于(

) A．103 n mile

C．52 n mile

答案

D 解析

如图，在△ABC中，

AB＝10，∠A＝60°，

∠B＝75°，

∴BC10＝，

sin 60°sin 45°106B.

n mile 3D．56 n mile ∴BC＝56. 2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(

) A．北偏东15°

C．北偏东10°

答案

B 解析

如图所示，∠ACB＝90°，

又AC＝BC，

∴∠CBA＝45°，而β＝30°，

∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A在点B的北偏西15°. 3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：3≈1.732)(

) B．北偏西15°

D．北偏西10°

A．11.4 km

C．6.5 km

答案

B 150解析

∵AB＝1 000×＝

km，

603B．6.6 km D．5.6 km

AB50∴BC＝·sin 30°＝

km. sin 45°325050∴航线离山顶h＝×sin 75°＝×sin(45°＋30°) 3232≈11.4 km. ∴山高为18－11.4＝6.6 km. 4．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile. 答案

70 解析

设两船之间的距离为d，

则d2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，

∴d＝70，即两船相距70 n mile. 5．在△ABC中，已知a，b，c分别为A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(3，S)满足p∥q，则C＝________. π答案

3解析

由题意得p∥q⇒4S＝3(a2＋b2－c2)，

a2＋b2－c21222又S＝absin C，所以2absin C＝3(a＋b－c)⇒sin C＝3⇒sin C＝3cos C⇒tan 22abC＝3，

π解得C＝. 3

题型一

求距离、高度问题

例1

(1)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(

)

A．502 m

C．252 m

B．503m 252D.

m 2

(2)(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

答案

(1)A

(2)1006 解析

(1)由正弦定理得

AC·sin∠ACBAB＝＝sin B50×1222＝502(m)．

(2)在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BCABBC600＝，即＝，所以BC＝3002.在Rt△BCD中，∠CBDsin∠BACsin∠ACBsin 30°sin 45°＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝3002·tan 30°＝1006. 思维升华

求距离、高度问题应注意

(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念；

(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．

(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

(1)一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°的方向上，距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/小时．

(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.

17答案

(1)6

(2)30＋303 2解析

(1)由题意知，在△PMN中，PM＝68海里，∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠MNP＝45°.MN68346176由正弦定理，得＝，解得MN＝346海里，故这只船航行的速度为＝sin 120°sin 45°42海里/小时．

(2)在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，

sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝PBAB由正弦定理得＝，

sin 30°sin 15°1×602∴PB＝＝30(6＋2)，

6－24∴树的高度为PB·sin 45°＝30(6＋2)×＝(30＋303)m. 2

26－22321×－×＝，

22224题型二

求角度问题

例2

(1)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的______方向．

(2)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(

) A．30°

C．60°

答案

(1)北偏西10°

(2)B 解析

(1)由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，

又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，

∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°. (2)依题意可得AD＝2010 m，AC＝305 m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理AC2＋AD2－CD23052＋20102－502得cos∠CAD＝＝

2AC·AD2×305×2010＝6 0002＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角6 00022B．45°

D．75°

为45°. 思维升华

解决测量角度问题的注意事项

(1)首先应明确方位角或方向角的含义．

(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．

(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．

如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需

计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是______．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)

答案

53

9解析

如图，过点P作PO⊥BC于点O，

连接AO，则∠PAO＝θ. 设CO＝x m，则OP＝3x m. 3在Rt△ABC中，AB＝15 m，AC＝25 m，

所以BC＝20 m. 4所以cos∠BCA＝. 5所以AO＝4625＋x2－2×25x×

5＝x2－40x＋625(m)．

3x3x2－40x＋62533

406251－＋2xx所以tan θ＝＝＝33. 25－42＋9x5253353254125当＝，即x＝时，tan θ取得最大值为＝. x54395题型三

三角形与三角函数的综合问题

例3

(2015·成都外国语学校期末)已知函数f(x)＝

πππ＋x＋2sin＋xcos＋x. 23sin2444(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且角A满足f(A)＝3＋1.若a＝3，BC边上的中线长为3，求△ABC的面积S.

解

(1)由题意知，

π＋2x＋sinπ＋2x

f(x)＝31－cos22＝3(1＋sin 2x)＋cos 2x

＝3＋3sin 2x＋cos 2x

π2x＋，

＝3＋2sin6πππ由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

262ππ解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

36ππkπ－，kπ＋，k∈Z. ∴函数f(x)的单调递增区间为36(2)由f(A)＝3＋1，得

π12A＋＝，

sin62ππ5ππ∴2A＋＝或，即A＝0或. 6663π又A为△ABC的内角，∴A＝. 3π由A＝，a＝3，

3→→→得|BC|＝|AC－AB|＝a＝3，①

→→又BC边上的中线长为3，知|AB＋AC|＝6，②

→→27联立①②，解得AB·AC＝，

4π27→→即|AB|·|AC|·cos ＝，

34→→27∴|AB|·|AC|＝. 2∴△ABC的面积为

1→→π273S＝|AB|·|AC|·sin ＝. 238思维升华

三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1,2cos C＋c＝2b，则△ABC的周长的取值范围是________．

答案

(2,3] 解析

在△ABC中，由余弦定理可得

a2＋b2－c22cos C＝，

ab1＋b2－c2∵a＝1,2cos C＋c＝2b，∴＋c＝2b，

b化简可得(b＋c)2－1＝3bc.∵bc≤∴(b＋c)2－1≤3×b＋c22，

b＋c22，解得b＋c≤2(当且仅当b＝c时，取等号)．故a＋b＋c≤3. 再由任意两边之和大于第三边可得b＋c>a＝1，

故有a＋b＋c>2，

故△ABC的周长的取值范围是(2,3]．

9．函数思想在解三角形中的应用

典例

(12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

思维点拨

(1)利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间t的函数，将原题转化为函数最值问题；(2)注意t的取值范围．

规范解答

解

(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则[1分]

S＝900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°

＝900t2－600t＋400＝

1900t－2＋300.[3分]

31103故当t＝时，Smin＝103，v＝＝303. 313即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[6分]

(2)设小艇与轮船在B处相遇．

则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，[8分]

600400故v2＝900－＋2. tt∵0

600400232∴900－＋2≤900，即2－≤0，解得t≥. tttt32又t＝时，v＝30，

32故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于. 3此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.[11分]

故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[12分]

温馨提醒

(1)三角形中的最值问题，可利用正弦、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题．

(2)求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义．

[方法与技巧]

1．利用解三角形解决实际问题时，(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义．

2．在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件．

[失误与防范]

1．不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混．

2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误．

A组

专项基础训练

(时间：35分钟) 1．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(

) A.6 km

C.3 km

答案

A 解析

如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，

∴AC2＝，

sin 60°sin 45°B.2 km D．2 km

∴AC＝22×3＝6. 22．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(

) A．102 海里

C．203 海里

答案

A 解析

如图所示，易知，

B．103 海里

D．202 海里

在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，

BCAB根据正弦定理得＝，

sin 30°sin 45°解得BC＝102(海里)．

3.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(

) A．8 km/h

C．234 km/h

答案

B 0.6解析

设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v

km/h，由题意知，sin θ＝11213414v＝×22＋12－2××2×1×，＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得解得v＝62.101055105选B. 4．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(

) B．62 km/h D．10 km/h

A．240(3＋1) m

C．120(3－1) m

答案

C 解析

如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，

在Rt△ACD中，

AD60CD＝＝

tan∠ACDtan 30°＝603 m，

在Rt△ABD中，BD＝＝60(2－3)m，

∴BC＝CD－BD＝603－60(2－3)＝120(3－1)m. 5.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(

) A．56

C．52

答案

D 解析

在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. BC30由正弦定理得＝，

sin 30°sin 135°所以BC＝152. 在Rt△ABC中，

AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156. 6．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m. 答案

103 解析

如图，OM＝AOtan 45°＝30 (m)，

ON＝AOtan 30°＝3×30 3B．153 D．156 AD6060＝＝

tan∠ABDtan 75°2＋3B．180(2－1) m D．30(3＋1) m

＝103 (m)，

在△MON中，由余弦定理得，

MN＝900＋300－2×30×103×3

2＝300＝103 (m)．

7．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m. 答案

400

3解析

如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，

∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°. 400又AB＝200 m，∴AC＝3 m. 3在△ACD中，由余弦定理得，

AC2＝2CD2－2CD2·cos 120°

＝3CD2，

∴CD＝1400AC＝

m. 338．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A、∠B、∠C所对的边a、b、c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．

答案

(1，2] a＋bsin A＋sin B解析

x＝＝＝sin A＋cos A

csin CππA＋.又A∈0，，

＝2sin42πππA＋≤sin ，即x∈(1，2]．

∴sin ＜sin4429.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin α的值．

解

(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC

＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.

解得BC＝28. BC所以渔船甲的速度为＝14海里/小时．

2AB(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝sin αBC，

sin 120°312×233ABsin 120°即sin α＝＝＝. BC281410.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°. 1(1)若PB＝，求PA；

2(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA. 解

(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°. 在△PBA中，

117由余弦定理得PA2＝3＋－2×3×cos 30°＝，

424故PA＝7. 2(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α. 3sin α在△PBA中，由正弦定理得＝，

sin 150°sin30°－α化简得3cos α＝4sin α，

所以tan α＝33，即tan∠PBA＝. 44B组

专项能力提升

(时间：15分钟) 11．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(

) A．50 m

C．120 m

答案

A 解析

设水柱高度是h

m，水柱底端为C，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝3h. B．100 m D．150 m

在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m. 12.如图，一艘船上午9∶30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距82n mile.此船的航速是________ n mile/h. 答案

32 解析

设航速为v n mile/h，

1在△ABS中，AB＝v，BS＝82，∠BSA＝45°，

21v282由正弦定理得＝，∴v＝32. sin 30°sin 45°13.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．

答案

507 解析

如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝507. 14．(2015·杭州二中月考)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________ km.

答案

7 解析

因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.

在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cos 11－＝49，

D，cos D＝－，代入得AC2＝32＋52－2×3×5×22故AC＝7. 15．在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m．设此山对于地平面的斜度为θ，则cos θ＝________.

答案

3－1 解析

在△ABC中，∠BAC＝15°，∠CBA＝180°－45°＝135°，所以∠ACB＝30°. 又AB＝100 m，

100BC由正弦定理，得＝，

sin 30°sin 15°100sin 15°即BC＝. sin 30°100sin 15°在△BCD中，因为CD＝50，BC＝，

sin 30°∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，

100sin 15°sin 30°50由正弦定理，得＝，

sin 45°sin90°＋θ解得cos θ＝3－1.