阅读与思考 九连环教学设计思路

6．3

等比数列

孟村职教中心 张丽敏

一、教学目标

知识目标：

理解等比数列前n项和公式．

能力目标：

通过学习等比数列前n项和公式,培养学生处理数据的能力．

情感目标：

（1）经历推广等比数列的前n项和公式带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神；

（2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用.

二、教学重点

等比数列的前n项和的公式．

三、教学难点

等比数列前n项和公式的推导．

四、教学设计

本节的主要内容是等比数列的前n项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前n项和公式；难点是前n项和公式的推导、求等比数列的项数n的问题及知识的简单实际应用．

等比数列前n项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并学会应用．等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量：a1、q、n、an、Sn，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量. 教材中例6是已知a1、an、Sn求q、n的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利用指数相等来求解n的方法是研究等比数列问题的常用方法. 五、教学备品

教学课件．

六、课时安排

1课时．(45分钟) 【教学过程】

第6章

数列（教案）

教

学

过

程

*揭示课题

6．3

等比数列．

*创设情境

兴趣导入

【趣味数学问题】

传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨•班•达依尔，教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

思考

参与

分析

从趣味小故事出发使得

学生

自然

的走

向知

识点

5 质疑

舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏．

国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明

的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内

放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格

子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依

照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，

放满棋盘的64个格子．并把这些麦粒赏给您的仆人吧”．

国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如

数付给达依尔麦粒．

计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个

格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，

国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，引导

也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺．

这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？

各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，分析

大臣西萨•班•达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和．

*动脑思考

探索新知

下面来研究求等比数列前n项和的方法．

等比数列an的前n项和为

总结

归纳

思考

归纳

带领

学生

总结

问题

Sna1a2a3an.

(1) 由于anqan1,故将(1)式的两边同时乘以q，得

第6章

数列（教案）

教

学

过

程

qSna2a3a4

(2)

anan1．教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

仔细

分析

讲解

n

理解

记忆

参与

分析

得到

等比数列通项公式

引导启发学生思考求解

用(1)式的两边分别减去(2)式的两边，得

1qSna1an1a1a1qna11q．

(3) 关键

词语

引导

分析

当q1时，由(3)式得等到数列an的前n项和公式

a1(1qn)

Sn

(6.7) (q1)．1q

知道了等比数列an中的a1、n和q(q1),，利用公式（6.7）可以直接计算Sn．

由于

a1qnan1anq,

因此公式（6.7）还可以写成

Sna1anq(q1)．

(6.8) 1q当q1时，等比数列的各项都相等，此时它的前n项和为

Snna1．

(6.9)

【想一想】

在等比数列{an}中，知道了a1、q、n、an、Sn五个量中

20 的三个量，就可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？

【注意】

在求等比数列的前n项和时，一定要判断公比q是否为１．

说明

观察

*巩固知识

典型例题

第6章

数列（教案）

教

学

过

程

例5

写出等比数列

1,3,9,27,

的前n项和公式并求出数列的前8项的和．

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

强调

引领

思考

主动

求解

观察

思考

求解

领会

通过例题进一步领会

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

25

33，所以等比数列的前n项和解

因为a11,q

1公式为

Sn1[1(3)]1(3)，

1(3)4nn讲解

说明

引领

分析

1(3)81640．

故

S84*例6

一个等比数列的首项为94，末项为，各项的和49211为，求数列的公比并判断数列是由几项组成．

36

94解

设该数列由n项组成，其公比为q，则a1，an，

49强调

211．

Sn含义

36

于是

94q

21149,

361q

即

94

211(1q)36q，

49

2解得

q．

3

n192

所以数列的通项公式为

an,

43

n1492

于是

，

943

第6章

数列（教案）

教

学

过

程

即

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

说明

思考

反复

强调

30 23n12,

34解得

n5．

故数列的公比为【注意】

例6中求项数n时，将等号两边化成同底数幂的形式，利2，该数列共有5项．

3用指数相等来求解．这种方法是研究等比数列问题的常用方法．

现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？

国王承诺奖赏的麦粒数为

S641(1264)26411.841019，

12

据测量，一般麦子的千粒重约为40g ，则这些麦子的总质量约为7.36×1017g，约合7360多亿吨．我国2000年小麦的全国产量才约为1.14亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！

*运用知识

强化练习

练习6.3.3

1．求等比数列

启发

引导

思考

了解

动手

求解

回答

可以

交给

学生

自我

发现

归纳

及时了解学生

35

1248，，，，…的前10项的和．

9999

提问

巡视

指导

质疑

2．已知等比数列｛an｝的公比为2，S4＝１，求S8．

*理论升华

整体建构

思考并回答下面的问题：

等比数列的前n项和公式是什么？

第6章

数列（教案）

教

学

过

程

结论：Sn教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

归纳强调

理解

强化

知识掌握情况

40 a1(1q)(q1).

1qnaanqSn1(q1).

1q*归纳小结

强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思

目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

1．已知等比数列｛an｝中，a12，S326，求q与a3．2．等比数列｛an｝的首项是6，第6项是的前多少项之和是

引导

提问

回忆

反思

动手

求解

检验

学生

学习

效果

培养学生总结反思学习过程的能力



3，这个数列

16巡视

指导

255？

64

43 *继续探索

活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题6．3A组（必做）；教材习题6．3B组（选做）

(3)实践调查：运用等比数列求和公式解决现实生活中的实际问题．

【教学反思】

说明

记录

分层次要求

45 第一，数学学习是一种活动，是教师指导下得学生再创造的活动。“指导再创造意味着在创造的自由性和满足师生的要求之间达到一种平衡”，这个平衡的关键是教师指导的“度”的把握，教师指导的过多，将限制学生的建构活动，而指导的不到位，又无法把学生引导到活动中去。在本节课中，教师以导学案的设问以及课堂中的补充设问，充分调动学生的求知欲，让学生在探索数学知识的形成过程中，感受到数学知识是从他们的头脑中产生的，他们

第6章

数列（教案）

是数学的发明者，创造者。

第二，教师在教学中应当因材施教。对于思维能力强，基础扎实的同学教师要努力给他们搭建展示的平台，对于理解有困难的学生，教师要耐心指导。本节课中，教师在巡视中解决了相当一部分同学问题，但仍有个别学生体验不深，如果能够再举几个例子，相信效果会更好。

第三，注重学生学习主体性的发挥，培养学生交流表达的习惯。学生的认知是通过内化与外显的多次交替而逐步发展、完善的，学生在数学活动中形成了主体性，在交流活动中表现着主体性；学生主体性的发挥又反过来促进思维的发展，满足学生对知识的不懈追求。

第6章

数列（教案）