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§3.4基本不等式abab2（第2课时）

教学设计

梅州中学

黄瑛

【学习目标】

1．知识与技能：进一步掌握基本不等式abab2；会合理拆项或凑项,会应用此不等式求某些函数的最值, 会用此不等式证明不等式，能够解决一些简单的实际问题；

2．过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】

掌握基本不等式abab2，会用此不等式证明不等式，会用此不等abab2，式求某些函数的最值

【教学难点】

利用此不等式求函数的最大、最小值。

【教学过程】

1.课题导入

1）．基本不等式：如果abab(当且仅当ab时取""号).2

a,b是正数，那么简称“一正，二定，三等”

2）．用基本不等式2.讲授新课

abab2求最大（小）值的各种类型和步骤。

1）利用基本不等式证明不等式

1.化正型

例1 求F(X)=2X+1/X-1(X<0)的最大值

[思维切入] 因为X<0，2X<0，1/X<0不符合基本不等式的条件，故应把负数转化为正数。

【教学活动】教师启发学生后，叫学生演练

【随堂练习1】

(1) 若x>0,求

(2)若x<0,求f(x)4x9x的最小值; f(x)4x9x的最大值. 4x9x=36两个前提条件; [思维切入]本题(1)x>0和(2)中x<0,可以用-x>0来转化. 解：1)

因为

x>0 由基本不等式得

f(x)4x99924x236124xxxx即,当且仅当9x取最小值12. 3x=2时, f(x)4x(2)因为

x<0,

所以

-x>0, 由基本不等式得: 999f(x)(4x)(4x)()2(4x)()23612xxx, 2所以

f(x)1.

当且仅当

4x939f(x)4xx即x=-2时, x取得最大-12. 规律技巧总结

利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.

2.凑定型

（1）构造积为定值，利用基本不等式求最值

例2

求函数Y=1/(X-3)+X(X>3)的最小值

[思维切入]因为1/(X-3)与X的积不为定值，故需变形使积为定值。

【教学活动】教师启发学生后，叫学生演练，教师指出学生的错误。

（2）构造和为定值，利用基本不等式求最值

例3

已知0

[思维切入]因为X+(1-3X)的和不为定值，故需变形使和为定值。

【教学活动】教师启发学生后，叫学生演练，教师指出学生的错误。

【随堂练习2】

求

规律技巧总结

合理地拆分转化，构造和或积为定值，并利用基本不等式的条件来求解，是解决此类问题的关键。

3.整体代换型

例4

已知X>0，Y>0，且2X+Y=1，求1/X+1/Y的最小值

f(x)4x9x5(x>5)的最小值.

【教学活动】教师先展示一种错误解法让学生找出错误点，加深学生

注意基本不等式的条件的重要性（课件展示）

【随堂练习3】

281xy

若x>0,y>0,且,求xy的最小值.

规律技巧总结

对与给定条件求最值的问题，常用乘“1”的变换法，创造使用基本不等式的条件

3.探究

利用基本不等式证明简单的不等式

例5

已知a>0,b>0,a+b=1, 求证：(1+1/a)(1+1/b)>=9 启发：由于不等式左边含字母a,b,右边无字母，直接使用基本不等式，既无法约去字母，不等号方向又不对，条件a+b=1能否把左边展开，实现“1”的代换

【教学活动】教师启发后让学生自己证明，小组合作解决。

【随堂练习3】

1.

已知a,b,c,d都是正数，求证(abcd)(acbd)4abcd. 22222(ab)(cd)(acbd)2. 求证

4.课时小结

用基本不等式abab2证明不等式和求函数的最大、最小值的方法。

1.

不具备“正值”条件时，需将其转化为正值：

2.

不具备“定值”条件时，需构造定值（构造：互为相反数、互为倒数）

3.

不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域

5.评价设计

24１．已知m>0,求证m6m24。

2.

证明：a2b222a2b

43.

求证:a3a7. 4．若x1，则x为何值时x1x1有最小值，最小值为几？