1.3 二项式定理（通用）教案2

1.3.1二项式定理

颍上一中

刘登科

一、教材分析

《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2---3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始. 在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用.另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备.同时二项式系数是一些特殊的组合数，有二项式定理可推导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识起到了很好的促进作用.可见二项式定理是一个承上启下的内容，问题类型具有较强的综合性，可以连接不同内容的知识. 二、教学目标

1、知识与技能目标

（1）、能利用计数原理证明二项式定理

（2）、理解掌握二项式定理，并能简单应用

（3）、能够区分二项式的系数与二项展开式的系数

2、过程与方法目标

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察，分析，归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式.并经历数学解决问题的一般思路：发现问题，提出假设，证明假设，

3、情感与态度目标

通过探究问题，归纳假设让学生在学习的过程中养成独立思考的好习惯，在自主学习中体验成功，在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣. 三、教学重点难点

（1）、教学重点：归纳二项式定理及二项式定理的应用

（2）、教学难点：二项式定理中单项式的系数

（3）、教学难点的突破：二项展开式中的系数问题，通过两个问题去考察计数原理在因式分解中的应用，从而提出在猜想中的各因式的特点，降幂排列，或升幂排列，系数是看成取谁的一个组合问题，从而很容易的就突破了难点，使学生不感到突然，或是难以接受.

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四、教法学法

为了突破难点，突出重点，我先采用设疑法将学生的兴趣吸引到课堂中来，然后让学生利用计数方法解决两个问题，随后应用归纳猜想的方法得出本节课的重点，层次分明，起点低，落点高，达到了低步伐高效率.在后面的教学中我注意到我班学生的本身特点，采用探究，思考，自主练习，提问的方式学习这节课的. 五、教学过程

教学程序

创设问题情境

引入新课

3 由(a+b)1=a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2;

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

观察展开式中的项数、指数变化以及系数变让学生通过特例去观察相同之处与不同之处，以及不同之2 展开（a+b）5，其中a2b3的系数是

1 5 今天是星期五，再过22011天后视星期几，你知道吗

1 乘积(a1a2a3)(b1b2b3)(c1c2c3c4c5)问题

问题设计意图

师生活动

提出问题激发学生探索欲望

考察学生对计让学生用计算器计算

学生思考，让学数原理的应用，生说出思考的及对因式展开原理的理解

考察学生对因式展开的某项的系数理解

过程，为后面做铺垫. 学生说出自己的思路，老师要做分析与讲解为后面猜想做铺垫

学生先观察总结特点：1、项数是指数加1；2、字母a按降有几项

4化，你发现了什么？由此猜想（a+b）

，（a+b）处的处理方法，幂排列，字母b5,(a+b)n的展开式中项数，指数变化及系数变从而提出猜想. 按照升幂排列，二者指数之和是二项式指数；化又如何呢？并试着写出他们的展开式.

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3、每一项的系数有上面的问题2给出，这很好的突破了本节的难点. 4 对于猜想0n1n12n22(ab)nCnaCnabCnab...rnrrnnCnab...Cnb让学生分析等我们式特点，猜想数学归纳法可以证明，让学有余力的学生课下完成，得到二项式定理. 学生自己阅读课本上的证明方法，老师最后做出方法归类，提示学生证明的思路.并留下课下演练二项式定理的数学归纳法证明. 如何进行证明呢？

思考观察

学习新课

1 观察二项展开式中的项数、指数以及系数有何特点，谁最具代表性？

考察学生的观察力，以及分析问题的能力. 学生继续总结这三点，以强化已有的认识，同时老师强调：二项式系数，与二项展开式系数的区别. 2 特殊的1、用-b代替b.2、令a=1,b=x.3、令a=1,b=1.4、令a=1,b=-1时试着写出他们的二项展开式

对二项式定理的简单应用，同时也是告诉学生二项式定理在解决问题时的方法：赋值或是赋表达式. 学生自主完成，老师进行检查，错误时做出点拨与分析. 精1 例题1、(12x)5求

的展开式，并求出展开式熟悉二项式定教师板演过程，

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讲精析

巩固新知

项?

rTr1C10(3x2)r(中的第四项的系数

解：60

理，以及对二项式系数，展开式系数，以及x的系数问题的理解与记忆. 给学生以示范，为后面步骤的整洁做铺垫. 2 例题2：

判断(3x2熟悉二项式展让学生先思考，得到直接利用公式展开，老师反问这很复杂，1x)的展开式中是否包含常数10开式的通项，并初步应用. 解：110r)x

5r102有没有简单的方法呢？提示通项是每一项具有的特点能否应用它呢？告诉学生通项的作用. (1)10rC3xrr10所以当r=2时，有常数项. 反馈练习

3 课堂练习

熟悉二项式定理，二项式系数，二项展开式学生自主练习，反馈教学效果，老师巡视做个141、求(2x)的展开式x2、求（12x)7的展开式第4项的系数系数，以及通项别辅导.

1的初步应用

3、求（x)7的展开式中x3的系数x今天是星期五,再22011天后是星期几,你知道吗？

解答：220112220102(23)6702(71)670

(71)670破解疑惑

破解疑惑让学生感受计算的简单与快捷，增学生提出解决思路，老师点评分析，怎么才能被7整除好计算呢?联想二项式定理的表达形式，问题得到

除以7余数是1，那么2(71)670除以7强对数学学习的热情，

的余数就是2. 今天是星期五，所以22011天后就是星期天

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解决，留为课下计算. 课堂小结

本节课你学习了什么知识，他是怎么得到的呢？在学习这部分知识时要注意什么呢？

让学生回顾本节要点，观察学生掌握情况. 学生说，教师课件演示，并强调：二项式系数与二项展开式系数的区别. 课下思考

思考延续

六、板书设计:

(x23x2)5展开式中x的系数为_____.

继续渗透转化化归的思想方法，

学生思考所学知识二项式定理.如何转化才可以解决呢？-------化成两项

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