小结教学设计案例

《赵爽弦图中的不等式性质的再探究》教学设计

一．教学内容解析

基本不等式是高中最重要的一个不等式，其结构简单、均匀对称，意蕴深厚。由两个正数通过加法、乘法、除法和开方四种运算，产生了它们的算术平均数和几何平均数的内在规律，实现了概念原理、符号语言、图形语言与自然语言的有机结合和高度统一，数学之美、数学之奇、数学之简、数学之趣尽在其中，蕴含了丰富的数学文化特征和多样的数学智慧因素。

《赵爽弦图中的不等式性质的再探究》是《基本不等式》内容的延伸。教学中选用“赵爽弦图”作为“数学探究”的素材和平台，以问题为线索，以TI-NspireCX-C CAS（图形计算器）为手段，搭建探究平台，引导学生通过观察，试验，猜想、验证及应用，并适当进行扩充或引伸，从中获得新的结果，新的方法，新的思想，体验数学发现和创造的历程。不仅扩大了学生的数学视野，促进对数学本质的理解，而且逐渐优化认知结构，使学生更深刻体会数学的文化价值和应用价值。

基于以上的分析，本节课的教学重点确定为：在利用赵爽弦图学习勾股定理和基本不等式的基础上，进一步挖掘和探究弦图中蕴含的不等式性质及其数学内涵. 二．教学目标设置

本节课立足学生的思维水平和认知特点，着眼于培养学生的探究、发现能力，具体教学目标确定为以下三点：

（1）利用赵爽弦图，深入挖掘其中说蕴含的丰富的不等关系（即基本不等式链）。

（2）启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，经历基本不等式链的发现、建构、应用，感受数学的拓广过程，体会数形结合思想，提高数学的归纳能力和抽象能力。

（3）通过赵爽弦图中不等式性质的探究，培养学生善于思考、乐于探索的良好品质.

三．学情分析

学生在初中时通过赵爽弦图学习了勾股定理，在推导基本不等式时学生再次学习赵爽弦图，一样的图形背景，不同的问题指向，从等量关系（勾股定理a2b2c2）到不等关系（基本不等式ab2ab），从平面几何到不等式的研究，是知识和思维的延续、拓展. 此前学生已经学习了不等式及其性质、解三角形、解析几何等有关知识，具备了必要的认知基础，也具有了一定的观察分析、抽象概括能力，并能用TI（图形计算器）解决常用的数学问题。本节课正是以学生已有知识为出发点，突出问题引导，着眼多元联系，让学生对赵爽弦图进行深度剖析，使不等式性质的认识结构更加完善。

基于以上分析，本节课的教学难点确定为：利用赵爽弦图，通过数形结合发a2b2ab2现、探究、深化和完善对基本不等式链的认识. ab1122ab四．教学策略分析

创设问题情境，以问题链引导学生学习已成为数学教学的一条基本原则。本节课将基本不等式链的探究发现设计成环环相扣、层次分明的问题链，结合启发式教学原则，采用学生探究和教师讲授相结合的方法，结合TI-NspireCX-C CAS（图形计算器）辅助教学，通过观察、分析、归纳、概括、猜想、应用等思维活a2b2ab2动，使学生充分地经历基本不等式链的探究发现ab1122ab和证明应用的过程。借助每一个问题的解决，把学生的思考逐步推向深入，使学生的学习过程成为在教师引导下的“探究发现”的过程，磨练学生的思维，有效地提升数学素养。

为突破难点，在教学中始终抓住图形的几何性质，发挥几何图形的功能，贯穿数形结合的思想，在新旧知识的连接点设问，搭建知识的脚手架，引导学生通过观察，挖掘赵爽弦图中有关线段、面积的度量关系，大胆联想，探究发现其中蕴含的不等关系，借助图形计算器辅助实验，最后代数证明。在这个过程中，揭示了从特殊到一般，再回到特殊的认知规律。

五．教学过程

依据知识的发生、发展、深化的过程和学生的思维规律，本节课设计了以下6个教学环节。

教学

环节

师：2002年8月国际数学家大会在北京召开，这个

教学程序(师生双向活动) 设计意图

一、

大会颁发的菲尔茨奖相当于数学界的诺贝尔奖.大会

赵爽弦图的直观再现，基再

的会标是根据中国古代的数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民的热情好客. 现

弦

图

，

唤

醒

知

识

本不等式的重新回顾，唤醒了学生对变与不变的关系、整体与局部的关系、师：（如图1，2）请同学们回忆一下以前借助赵爽弦等与不等的关系、一般与图主要研究了什么？

（图1） （图2） 特殊的关系的感受，促使学生在直观丰富的情境下感知公式的基本特征和形式，有效强化“抽象知识”和“几何原型”之间的本质联系.

师：回到弦图，a,b是RtABE的两条直角边，那么，教师通过对弦图中几何性二、

追

问

弦

图

，

体

验

发

现

在ABE中是否还存在其它关于a,b的不等关系？

生3：ab是三角形两边之和，所以联想三角形三边关系得到abc，即ab质的追问，引导学生对本质问题进行深刻挖掘，领悟几何与代数之间的内在a2b2，注意联系，从赵爽弦图中直角三角形的直角边、斜边、斜边上的中线、斜边上的高的几何关系中引申出基本不等式及其衍生结论，让学生自由自在、灵活地思考，促进学生在原有知到，当a0或b0时，上式也成立，所以aba2b2. 师：这个发现源于三角形的最基本性质，得到的不等式关系精美简约，下面请大家观察弦图中的RtABE，思考它是否还蕴含其它的几何关系？

识和经验基础上的主动建构，实现了知识的自然过渡和传承间的“春风化雨，润物无声.”

通过搭建符合学生认知规律的脚手架，在学生亲手操作、亲历体验过程中，

师：上述过程中，我们着重从平面几何中线段的关系去挖掘和思考a,b的不等关系.如果我们用动态的观点研究弦图，那么能否有新的视角和新的手段不等关系呢？现在我们让赵爽弦图动起来，通过观察看到三、

深

探

弦

图

，

跨

界

交

汇

在运动和变化的过程中进行跨界联想，多元交汇，a,b在变化，c不变，那么ab的变化是否有什么从三角函数，解析几何等角度观察、分析和解决问规律？

题，不断丰富知识探究过程的真切感和思考层次，使得学生对弦图的探究能够“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，从不同角度理解数学的本质.

系列问题来引导和激发学生的参与意识、创新意识，培养探究问题的能力，提升思维的层次。学生能够运用类比的方法猜想并重构赵爽弦图，在“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，设计“私人定制”的弦图，探索推导基本不等式的新途径，是一种超越，是一四、

师：赵爽弦图是在正方形中构造直角三角形，请大家通过让学生参与设计的一重

构

弦

图

，

彰

显

创

意

思考能否在其它图形中构造类似的弦图来推导基本不等式？

展示学生作品

种创意．

师：今天我们通过挖掘赵爽弦图中的几何性质，用不方法得到基本不等式链五、

同回

顾

小

结

，

理

清

脉

络

a2b2ab2，在探究的过程ab1122ab中我们运用了特殊到一般、数形结合、转化与化归、类比联想等数学思想方法。

引领学生进行回顾总结，归纳本节课内容，提炼思想方法，总结学习经验，完善认知结构。

作

业

小组合作设计弦图，并挖掘其中蕴含的不等式性质